(1) 関数 $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ の最大値と極大点の定義を述べる。 (2) 関数 $G(x,y) = 2x^3 + 6xy^2 + x^2 - y^2$ の停留点をすべて求める。 (3) (2)で求めた停留点が、極大点、極小点、あるいはどちらでもないかを判定する。 (4) 関数 $G$ が最大値を持つかどうかを証明とともに述べる。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ の最大値と極大点の定義を述べる。

(2) 関数 $G(x,y) = 2x^3 + 6xy^2 + x^2 - y^2$ の停留点をすべて求める。

(3) (2)で求めた停留点が、極大点、極小点、あるいはどちらでもないかを判定する。

(4) 関数 $G$ が最大値を持つかどうかを証明とともに述べる。

2. 解き方の手順

(1)

最大値の定義：

関数 $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ が点 $(x_0, y_0)$ で最大値を持つとは、任意の $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $F(x,y) \leq F(x_0, y_0)$ が成り立つことである。

極大値の定義：

関数 $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ が点 $(x_0, y_0)$ で極大値を持つとは、ある $\delta > 0$ が存在して、$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ を満たす任意の $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $F(x,y) \leq F(x_0, y_0)$ が成り立つことである。

(2)

停留点を求めるには、まず偏微分を計算する。

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\frac{\partial G}{\partial x} = 6x^2 + 6y^2 + 2x

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\frac{\partial G}{\partial y} = 12xy - 2y

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停留点は、これらの偏微分が同時に0になる点である。

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6x^2 + 6y^2 + 2x = 0 \quad \cdots (1)

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12xy - 2y = 0 \quad \cdots (2)

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(2)より、$2y(6x-1) = 0$ となるので、$y=0$ または $x = \frac{1}{6}$ である。

$y = 0$ のとき、(1)より $6x^2 + 2x = 0$ となり、$2x(3x+1)=0$。よって、$x = 0$ または $x = -\frac{1}{3}$。

したがって、$(0,0)$ と $(-\frac{1}{3}, 0)$ が停留点である。

$x = \frac{1}{6}$ のとき、(1)より $6(\frac{1}{6})^2 + 6y^2 + 2(\frac{1}{6}) = 0$ となり、$\frac{1}{6} + 6y^2 + \frac{1}{3} = 0$。

$6y^2 = -\frac{1}{2}$。これは実数解を持たない。

よって、停留点は $(0,0)$ と $(-\frac{1}{3}, 0)$ である。

(3)

ヘッセ行列を計算する。

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\frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = 12x + 2

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\frac{\partial^2 G}{\partial y^2} = 12x - 2

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\frac{\partial^2 G}{\partial x \partial y} = 12y

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ヘッセ行列は

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H(x,y) = \begin{pmatrix} 12x+2 & 12y \\ 12y & 12x-2 \end{pmatrix}

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$(0,0)$ におけるヘッセ行列は

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H(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}

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行列式は $2(-2) - 0 = -4 < 0$ であるから、$(0,0)$ は鞍点である。

$(-\frac{1}{3}, 0)$ におけるヘッセ行列は

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H(-\frac{1}{3}, 0) = \begin{pmatrix} 12(-\frac{1}{3})+2 & 0 \\ 0 & 12(-\frac{1}{3})-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix}

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行列式は $(-2)(-6) - 0 = 12 > 0$ であり、$\frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = -2 < 0$ であるから、$(-\frac{1}{3}, 0)$ は極大点である。

(4)

$G(x,y) = 2x^3 + 6xy^2 + x^2 - y^2$ を考える。

$G(x,0) = 2x^3 + x^2$ を考える。$x \to \infty$ のとき $G(x,0) \to \infty$ であるため、Gは最大値を持たない。

3. 最終的な答え

(1) 最大値の定義：関数 $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ が点 $(x_0, y_0)$ で最大値を持つとは、任意の $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $F(x,y) \leq F(x_0, y_0)$ が成り立つことである。

極大値の定義：関数 $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ が点 $(x_0, y_0)$ で極大値を持つとは、ある $\delta > 0$ が存在して、$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ を満たす任意の $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $F(x,y) \leq F(x_0, y_0)$ が成り立つことである。

(2) 停留点：$(0,0), (-\frac{1}{3}, 0)$

(3) $(0,0)$: 鞍点、 $(-\frac{1}{3}, 0)$: 極大点

(4) $G$ は最大値を持たない。