問題は2つあります。 (1) $f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)^2$ について、曲線 $y = f(x)$ の $x = 1$ における微分係数を求める。 (2) 次の関数の3次導関数を求める。 (1) $y = x^5 - 4x^2 - 3$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)^2$ について、曲線 $y = f(x)$ の $x = 1$ における微分係数を求める。

(2) 次の関数の3次導関数を求める。

(1) $y = x^5 - 4x^2 - 3$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を微分します。積の微分法を用いると、

$$f'(x) = (x^2 + 1)'(2x - 3)^2 + (x^2 + 1)((2x - 3)^2)'$$

$$f'(x) = 2x(2x - 3)^2 + (x^2 + 1)(2(2x - 3) \cdot 2)$$

$$f'(x) = 2x(2x - 3)^2 + 4(x^2 + 1)(2x - 3)$$

次に、$x = 1$ を代入して $f'(1)$ を計算します。

$$f'(1) = 2(1)(2(1) - 3)^2 + 4(1^2 + 1)(2(1) - 3)$$

$$f'(1) = 2(1)(-1)^2 + 4(2)(-1)$$

$$f'(1) = 2(1)(1) - 8$$

$$f'(1) = 2 - 8 = -6$$

(2)

(1) $y = x^5 - 4x^2 - 3$

1次導関数: $y' = 5x^4 - 8x$

2次導関数: $y'' = 20x^3 - 8$

3次導関数: $y''' = 60x^2$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

1次導関数: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

2次導関数: $y'' = (-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})x^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}$

3次導関数: $y''' = (\frac{3}{4})(-\frac{5}{2})x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{8}x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$

3. 最終的な答え

(1) -6

(2)

(1) $60x^2$

(2) $-\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$