SENSEI AI
About App

関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}}$ （$-2\pi \le x \le 2\pi$）について、以下の問題を解きます。 (1) 不定積分 $\int f(x) dx$ を求めます。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = -1$ で囲まれる部分 $D$ の面積を求めます。 (3) (2)の$D$のうち、$x \ge 0$ の部分の面積を$S_1$、$x \le 0$ の部分の面積を$S_2$とするとき、$S_1$と$S_2$の大小を比較します。ただし、$2.7 < e < 3 < \pi$であることを用いてよいです。

解析学不定積分定積分面積三角関数
2025/7/31

1. 問題の内容

関数 f(x)=cos⁡xsin⁡x+2f(x) = \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}} （−2π≤x≤2π-2\pi \le x \le 2\pi）について、以下の問題を解きます。
(1) 不定積分 ∫f(x)dx\int f(x) dx を求めます。
(2) 曲線 y=f(x)y = f(x) と直線 y=−1y = -1 で囲まれる部分 DD の面積を求めます。
(3) (2)のDDのうち、x≥0x \ge 0 の部分の面積をS1S_1、x≤0x \le 0 の部分の面積をS2S_2とするとき、S1S_1とS2S_2の大小を比較します。ただし、2.7<e<3<π2.7 < e < 3 < \piであることを用いてよいです。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 ∫f(x)dx\int f(x) dx を求める。
sin⁡x+2=t\sin x + \sqrt{2} = t と置換すると、cos⁡xdx=dt\cos x dx = dt となります。
よって、
∫f(x)dx=∫cos⁡xsin⁡x+2dx=∫1tdt=ln⁡∣t∣+C=ln⁡∣sin⁡x+2∣+C\int f(x) dx = \int \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}} dx = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln|\sin x + \sqrt{2}| + C
ここで、CCは積分定数です。
(2) 曲線 y=f(x)y = f(x) と直線 y=−1y = -1 で囲まれる部分 DD の面積を求める。
まず、交点を求める。
f(x)=−1f(x) = -1 を解く。
cos⁡xsin⁡x+2=−1\frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}} = -1
cos⁡x=−sin⁡x−2\cos x = -\sin x - \sqrt{2}
cos⁡x+sin⁡x=−2\cos x + \sin x = -\sqrt{2}
2sin⁡(x+π4)=−2\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}
sin⁡(x+π4)=−1\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1
x+π4=−π2+2nπx + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, nnは整数
x=−3π4+2nπx = -\frac{3\pi}{4} + 2n\pi
−2π≤x≤2π-2\pi \le x \le 2\pi より、x=−3π4,5π4,−11π4,13π4x = -\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}
xxの範囲から、x=−3π4,5π4x = -\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}
DDの面積は、
∫−3π45π4[−1−cos⁡xsin⁡x+2]dx=∫−3π45π4−1dx−∫−3π45π4cos⁡xsin⁡x+2dx\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} [-1 - \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}}] dx = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} -1 dx - \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}} dx
=[−x]−3π45π4−[ln⁡∣sin⁡x+2∣]−3π45π4= [-x]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} - [\ln|\sin x + \sqrt{2}|]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}
=−5π4−3π4−(ln⁡∣sin⁡(5π4)+2∣−ln⁡∣sin⁡(−3π4)+2∣)= -\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} - (\ln|\sin(\frac{5\pi}{4}) + \sqrt{2}| - \ln|\sin(-\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{2}|)
=−2π−(ln⁡∣−12+2∣−ln⁡∣−12+2∣)=2π= -2\pi - (\ln|-\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}| - \ln|-\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}|) = 2\pi
(3) S1S_1 と S2S_2 の大小を比較する。
S1=∫05π4[−1−cos⁡xsin⁡x+2]dxS_1 = \int_0^{\frac{5\pi}{4}} [-1 - \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}}] dx
S2=∫−3π40[−1−cos⁡xsin⁡x+2]dxS_2 = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^0 [-1 - \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}}] dx
S1=[−x]05π4−[ln⁡∣sin⁡x+2∣]05π4=−5π4−(ln⁡∣sin⁡5π4+2∣−ln⁡∣sin⁡0+2∣)S_1 = [-x]_0^{\frac{5\pi}{4}} - [\ln|\sin x + \sqrt{2}|]_0^{\frac{5\pi}{4}} = -\frac{5\pi}{4} - (\ln|\sin \frac{5\pi}{4} + \sqrt{2}| - \ln|\sin 0 + \sqrt{2}|)
=−5π4−(ln⁡∣−12+2∣−ln⁡2)=−5π4−ln⁡(22)+12ln⁡2= -\frac{5\pi}{4} - (\ln|-\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}| - \ln \sqrt{2}) = -\frac{5\pi}{4} - \ln (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \ln 2
S2=[−x]−3π40−[ln⁡∣sin⁡x+2∣]−3π40=0+3π4−(ln⁡∣sin⁡0+2∣−ln⁡∣sin⁡(−3π4)+2∣)S_2 = [-x]_{-\frac{3\pi}{4}}^0 - [\ln|\sin x + \sqrt{2}|]_{-\frac{3\pi}{4}}^0 = 0 + \frac{3\pi}{4} - (\ln|\sin 0 + \sqrt{2}| - \ln|\sin(-\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{2}|)
=3π4−(ln⁡2−ln⁡∣−12+2∣)=3π4−(12ln⁡2+ln⁡(22))=3π4−12ln⁡2= \frac{3\pi}{4} - (\ln \sqrt{2} - \ln|-\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}|) = \frac{3\pi}{4} - (\frac{1}{2} \ln 2 + \ln(\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln2
$S_1 - S_2 = -\frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} -(\frac{1}{2}\ln 2 - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}})) = -\frac{2\pi}{4} + (\ln \sqrt{2}- \ln (\frac{1}{\sqrt{2}}) )= -\frac{\pi}{2}-ln|\sqrt{2}| =-4.3

3. 最終的な答え

(1) ∫f(x)dx=ln⁡∣sin⁡x+2∣+C\int f(x) dx = \ln|\sin x + \sqrt{2}| + C
(2) DDの面積 = 2π2\pi
(3) S1<S2S_1 < S_2

「解析学」の関連問題

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x+1)^2(x-2)} dx$ を計算します。

定積分部分分数分解積分計算
2025/8/1

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^3+1}$ の値を求める問題です。

定積分部分分数分解積分計算arctan対数
2025/8/1

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x+3}{(x+1)(x+2)} dx$ を計算します。

定積分部分分数分解積分計算
2025/8/1

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^3 + x + 1}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

定積分積分計算arctan部分分数分解
2025/8/1

$\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \cos^3 x dx$ を計算してください。

積分三角関数置換積分
2025/8/1

不定積分 $\int \cos^4(3x) \sin(3x) \, dx$ を求めよ。

不定積分定積分置換積分部分積分三角関数積分
2025/8/1

合成関数の微分を用いて、以下の(1)と(2)それぞれについて、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$ と $z_v = \frac{\partial z}{\par...

偏微分合成関数偏導関数
2025/8/1

与えられた積分を計算します。 (1) $\int \arcsin{x} dx$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^4 + 1} dx$

積分不定積分定積分部分積分置換積分arcsinarctan
2025/8/1

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos 2x \cos 3x \, dx$ を計算します。

積分定積分三角関数積和の公式
2025/8/1

与えられた $y = a \cos(b\theta + c)$ のグラフから、定数 $a, b, c$ および $p, q$ の値を求めます。ただし、$a>0$, $b>0$, $-\frac{\pi...

三角関数グラフ振幅周期平行移動
2025/8/1