関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}}$ が与えられています ($ -2\pi \leq x \leq 2\pi $)。 (1) $f(x)$ の不定積分を求めます。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = -1$ で囲まれる部分 $D$ の面積を求めます。 (3) $D$ のうち、$x \geq 0$ の部分の面積を $S_1$、$x \leq 0$ の部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1$ と $S_2$ の大小を比較します。ただし、$2.7 < e < 3 < \pi$ であることを用いてよいです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}}$ が与えられています ($-2\pi \leq x \leq 2\pi$)。

(1) $f(x)$ の不定積分を求めます。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = -1$ で囲まれる部分 $D$ の面積を求めます。

(3) $D$ のうち、$x \geq 0$ の部分の面積を $S_1$、$x \leq 0$ の部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1$ と $S_2$ の大小を比較します。ただし、$2.7 < e < 3 < \pi$ であることを用いてよいです。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分の計算

$t = \sin x + \sqrt{2}$ と置換すると、$dt = \cos x \, dx$ となります。

したがって、

$\int f(x) \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt = \ln |t| + C = \ln |\sin x + \sqrt{2}| + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

(2) 面積の計算

まず、$f(x) = -1$ となる $x$ を求めます。

$\frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}} = -1$ より、$\cos x = - \sin x - \sqrt{2}$

$\cos x + \sin x = - \sqrt{2}$

$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = - \sqrt{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

$x = -\frac{3\pi}{4} + 2n\pi$

または

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

$x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$

$-2\pi \le x \le 2\pi$ の範囲で、$x = -\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$ ですが、$-\frac{11\pi}{4}$と$\frac{13\pi}{4}$は範囲外なので$x = -\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$です。

面積 $D$ は、$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (-1 - f(x)) dx = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (-1 - \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}}) dx$

$= \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (-1) dx - \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{\cos x}{\sin x + \sqrt{2}} dx$

$= [-x]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} - [\ln |\sin x + \sqrt{2}|]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$= (-\frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}) - (\ln |\sin(\frac{5\pi}{4}) + \sqrt{2}| - \ln |\sin(-\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{2}|)$

$= -2\pi - (\ln |-\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}| - \ln |-\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}|) = -2\pi - 0 = 2\pi$

領域Dの面積は $\int_{-3\pi/4}^{5\pi/4} |-1 - f(x)| dx = |-2\pi| = 2\pi$

$f(x)$は$x=0$について対称性がないため、$S_1$と$S_2$は異なる。

$S_1 = \int_{0}^{\frac{5\pi}{4}} |-1 - f(x)| dx = \int_{0}^{\frac{5\pi}{4}} -1 - \frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}dx = [-x - ln|sinx+\sqrt{2}|]_{0}^{5\pi/4} = -\frac{5\pi}{4} - ln|\frac{-\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}| - (0 - ln|\sqrt{2}|) = -\frac{5\pi}{4} - ln(\frac{\sqrt{2}}{2})+ln(\sqrt{2}) = -\frac{5\pi}{4} - ln(\frac{1}{\sqrt{2}})+ln(\sqrt{2}) = -\frac{5\pi}{4} + ln(\sqrt{2}) + ln(\sqrt{2}) = -\frac{5\pi}{4}+2ln(\sqrt{2})=-\frac{5\pi}{4}+ln2$

$S_2 = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{0} |-1 - f(x)| dx = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{0} -1 - \frac{cosx}{sinx+\sqrt{2}}dx = [-x - ln|sinx+\sqrt{2}|]_{-\frac{3\pi}{4}}^{0} = 0-ln|\sqrt{2}|-(\frac{3\pi}{4}-ln|sin(-\frac{3\pi}{4})+\sqrt{2}|) = -ln(\sqrt{2}) - (\frac{3\pi}{4} - ln(\frac{\sqrt{2}}{2})) = -ln(\sqrt{2}) - \frac{3\pi}{4} + ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3\pi}{4} - ln(\sqrt{2}) + ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{3\pi}{4} -ln\sqrt{2}-ln\sqrt{2}= - \frac{3\pi}{4} -2ln\sqrt{2} = -\frac{3\pi}{4}-ln2$

$S_1-S_2 = -\frac{5\pi}{4}+ln2 - (-\frac{3\pi}{4}-ln2) = -\frac{\pi}{2}+2ln2 <0$ since $4ln2 < \pi$

$S_1 < S_2$

3. 最終的な答え

(1) $\int f(x) dx = \ln |\sin x + \sqrt{2}| + C$

(2) $2\pi$

(3) $S_1 < S_2$