実数 $x$ に対して、無限級数 $$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \dots$$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \dots$$

が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項 $x$、公比 $r = \frac{1}{1+x-x^2}$ の等比級数です。等比級数が収束するための条件は $|r| < 1$ です。

したがって、

$$\left|\frac{1}{1+x-x^2}\right| < 1$$

これを解きます。まず、$1+x-x^2 \neq 0$ である必要があります。

$\frac{1}{1+x-x^2} < 1$ かつ $\frac{1}{1+x-x^2} > -1$ を考える必要があります。

(1) $\frac{1}{1+x-x^2} < 1$ のとき、

$1+x-x^2 > 0$ ならば $1 < 1+x-x^2$ より $x-x^2 > 0$ つまり $x(1-x) > 0$ となり $0 < x < 1$。

$1+x-x^2 < 0$ ならば $1 > 1+x-x^2$ より $x-x^2 < 0$ つまり $x(1-x) < 0$ となり $x < 0$ または $x > 1$。

(2) $\frac{1}{1+x-x^2} > -1$ のとき、

$1+x-x^2 > 0$ ならば $1 > -1-x+x^2$ より $x^2 - x - 2 < 0$ つまり $(x-2)(x+1) < 0$ となり $-1 < x < 2$。

$1+x-x^2 < 0$ ならば $1 < -1-x+x^2$ より $x^2 - x - 2 > 0$ つまり $(x-2)(x+1) > 0$ となり $x < -1$ または $x > 2$。

$1+x-x^2 = 0$ を解くと $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。

上記の条件を合わせると、$x$ が収束する範囲は $-1 < x < 0$ または $0 < x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ または $\frac{1+\sqrt{5}}{2} < x < 2$ となります。

ただし、初項が$x$なので、$x=0$のときは収束して和は0になる。

$S = \frac{x}{1 - \frac{1}{1+x-x^2}} = \frac{x}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = \frac{x(1+x-x^2)}{x-x^2} = \frac{x(1+x-x^2)}{x(1-x)} = \frac{1+x-x^2}{1-x}$。ただし、$x \neq 0$ かつ $x \neq 1$。

3. 最終的な答え

無限級数が収束するような実数 $x$ の範囲は $-1 < x < 0$ または $0 < x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ または $\frac{1+\sqrt{5}}{2} < x < 2$ です。

そのときの無限級数の和は $x=0$のとき0であり、$x\neq0$のとき$\frac{1+x-x^2}{1-x}$ です。

つまり、$x=0$のとき、無限級数の和は

0.　$-1<x<0$または$0<x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$または$\frac{1+\sqrt{5}}{2}<x<2$ のとき、無限級数の和は$\frac{1+x-x^2}{1-x}$。