(1) 関数 $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ の最大値および極大点の定義を説明する。 (2) 関数 $G(x, y) = 2x^3 + 6xy^2 + x^2 - y^2$ の停留点をすべて求める。 (3) 前問で求めた停留点が、極大点、極小点、あるいはそのいずれでもないかを判定する。 (4) 関数 $G$ が最大値を持つかどうかを証明とともに述べる。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ の最大値および極大点の定義を説明する。

(2) 関数 $G(x, y) = 2x^3 + 6xy^2 + x^2 - y^2$ の停留点をすべて求める。

(3) 前問で求めた停留点が、極大点、極小点、あるいはそのいずれでもないかを判定する。

(4) 関数 $G$ が最大値を持つかどうかを証明とともに述べる。

2. 解き方の手順

(1)

* **最大値の定義:**

関数 $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が点 $(a, b)$ で最大値を持つとは、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $F(x, y) \leq F(a, b)$ が成り立つことである。

* **極大点の定義:**

関数 $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が点 $(a, b)$ で極大点を持つとは、$(a, b)$ を含むある開集合 $U$ が存在して、任意の $(x, y) \in U$ に対して $F(x, y) \leq F(a, b)$ が成り立つことである。

(2)

停留点を求めるには、偏微分がともに0となる点を求める。

$G_x = \frac{\partial G}{\partial x} = 6x^2 + 6y^2 + 2x = 0$

$G_y = \frac{\partial G}{\partial y} = 12xy - 2y = 2y(6x - 1) = 0$

$G_y = 0$ より $y=0$ または $x=\frac{1}{6}$

(i) $y = 0$ のとき

$6x^2 + 2x = 0$

$2x(3x + 1) = 0$

$x = 0, -\frac{1}{3}$

停留点は $(0, 0)$ と $(-\frac{1}{3}, 0)$

(ii) $x = \frac{1}{6}$ のとき

$6(\frac{1}{36}) + 6y^2 + 2(\frac{1}{6}) = 0$

$\frac{1}{6} + 6y^2 + \frac{1}{3} = 0$

$6y^2 = -\frac{1}{2}$

これは実数解を持たない。

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(-\frac{1}{3}, 0)$ である。

(3)

ヘッセ行列を計算し、各停留点での正定値性、負定値性、不定性を調べる。

$G_{xx} = \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = 12x + 2$

$G_{yy} = \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} = 12x - 2$

$G_{xy} = \frac{\partial^2 G}{\partial x \partial y} = 12y$

$H(x, y) = G_{xx} G_{yy} - (G_{xy})^2 = (12x + 2)(12x - 2) - (12y)^2 = 144x^2 - 4 - 144y^2$

(i) $(0, 0)$ のとき

$H(0, 0) = -4 < 0$

よって、$(0, 0)$ は鞍点である。

(ii) $(-\frac{1}{3}, 0)$ のとき

$H(-\frac{1}{3}, 0) = 144(\frac{1}{9}) - 4 = 16 - 4 = 12 > 0$

$G_{xx}(-\frac{1}{3}, 0) = 12(-\frac{1}{3}) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$

よって、$(-\frac{1}{3}, 0)$ は極大点である。

(4)

関数 $G(x, y) = 2x^3 + 6xy^2 + x^2 - y^2$ が最大値を持つかどうかを調べる。

$x \to \infty$ かつ $y=0$ のとき、$G(x,0) = 2x^3 + x^2 \to \infty$となるため最大値を持たない。

3. 最終的な答え

(1) 最大値の定義と極大点の定義は上記参照。

(2) 停留点: $(0, 0)$, $(-\frac{1}{3}, 0)$

(3) $(0, 0)$: 鞍点, $(-\frac{1}{3}, 0)$: 極大点

(4) $G$ は最大値を持たない。