与えられた14個の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$ (3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x + 1} - x)$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(2x+1)}{\sin x}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5^x}{x^4}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x - e^{-x}}$ (7) $\lim_{x \to \infty} xe^x$ (8) $\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$ (9) $\lim_{x \to 0} (\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1}{x}}$ (10) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}$ (11) $\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2})$ (12) $\lim_{x \to 0} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$ (13) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x}{x^2}$ (14) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x})$

1. 問題の内容

与えられた14個の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x + 1} - x)$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(2x+1)}{\sin x}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5^x}{x^4}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x - e^{-x}}$

(7) $\lim_{x \to \infty} xe^x$

(8) $\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$

(9) $\lim_{x \to 0} (\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1}{x}}$

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}$

(11) $\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2})$

(12) $\lim_{x \to 0} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

(13) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x}{x^2}$

(14) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x})$

2. 解き方の手順

各極限について、ロピタルの定理やテイラー展開、対数変換など適切な手法を用いて計算します。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}}$

ロピタルの定理を適用します。$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3}x^{-2/3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{1/3}} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$

ロピタルの定理を3回適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2e^{2x}}{3x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4e^{2x}}{6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{8e^{2x}}{6} = \infty$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x + 1} - x)$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 3x + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 3x + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 3x + 1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x + 1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{\sqrt{x^2 + 3x + 1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(2x+1)}{\sin x}$

ロピタルの定理を適用します。$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2x+1}}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5^x}{x^4}$

ロピタルの定理を4回適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{5^x \log 5}{4x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{5^x (\log 5)^2}{12x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{5^x (\log 5)^3}{24x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5^x (\log 5)^4}{24} = \infty$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x - e^{-x}}$

ロピタルの定理を適用します。$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{e^x + e^{-x}} = \frac{0}{2} = 0$

(7) $\lim_{x \to \infty} xe^x = \infty$

(8) $\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$

$y = (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log(e^x + x)$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log(e^x + x)}{x}$. ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{e^x + x} = \frac{1+1}{1+0} = 2$.

したがって、$\lim_{x \to 0} \log y = 2$なので、$\lim_{x \to 0} y = e^2$

(9) $\lim_{x \to 0} (\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1}{x}}$

$y = (\frac{1+x}{1-x})^{\frac{1}{x}}$とおくと、$\log y = \frac{1}{x} (\log(1+x) - \log(1-x))$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - \log(1-x)}{x}$. ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1-x^2} = 2$

したがって、$\lim_{x \to 0} \log y = 2$なので、$\lim_{x \to 0} y = e^2$

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$なので、$\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-\frac{1}{6} + O(x^2)} = -6$

あるいは、ロピタルの定理を3回適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x} = -6$

(11) $\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2})$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$, $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

$\sin x \cos x = (x - \frac{x^3}{6} + \dots)(1 - \frac{x^2}{2} + \dots) = x - \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$

$\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - \frac{2x^3}{3} + O(x^5)}{x^3} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{3} + O(x^2) - \frac{1}{x^2} = -\frac{2}{3}$

(12) $\lim_{x \to 0} (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$

$y = (\frac{a^x + b^x}{2})^{\frac{1}{x}}$とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log(\frac{a^x + b^x}{2})$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log(\frac{a^x + b^x}{2})}{x}$. ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^x \log a + b^x \log b}{a^x + b^x}}{\frac{a^x + b^x}{2}} = \frac{\frac{\log a + \log b}{2}}{1} = \log \sqrt{ab}$

$\lim_{x \to 0} \log y = \log \sqrt{ab}$なので、$\lim_{x \to 0} y = \sqrt{ab}$

(13) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x}{x^2}$

$\log(1 - 3x + 2x^2) = \log(1 + (-3x + 2x^2))$. $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$を使うと

$\log(1 - 3x + 2x^2) = (-3x + 2x^2) - \frac{(-3x + 2x^2)^2}{2} + \dots = -3x + 2x^2 - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)$

$\frac{\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x}{x^2} = \frac{-3x + 2x^2 - \frac{9x^2}{2} + O(x^3) + 3x}{x^2} = \frac{2x^2 - \frac{9x^2}{2} + O(x^3)}{x^2} = 2 - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2}$

(14) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x})$

$\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - (e^x - 1)}{(e^x - 1) \sin x}$.

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$, $e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

$\sin x - (e^x - 1) = x - \frac{x^3}{6} - (x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + O(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$(e^x - 1)\sin x = (x + \frac{x^2}{2} + O(x^3))(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^4)}{x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2} - \frac{x}{3}}{1 + \frac{x}{2}} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\infty$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) 2

(5) $\infty$

(6) 0

(7) $\infty$

(8) $e^2$

(9) $e^2$

(10) -6

(11) $-\frac{2}{3}$

(12) $\sqrt{ab}$

(13) $-\frac{5}{2}$

(14) $-\frac{1}{2}$