(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\frac{\sin x}{x}) - \sin(3x) + ax + bx^2}{2x^3 - x^5}$ が存在するような実数 $a, b$ の値を求め、そのときの極限値を求めよ。 (2) $y = \varphi(x)$ を $x = 0$ のある近傍において定義された、方程式 $2y \cos x + e^{x+y} - 1 = 0$ の陰関数で $\varphi(0) = 0$ であるものとする。$\varphi'(0)$ および $\varphi''(0)$ を求めよ。 (3) 関数 $f(x, y) = \exp(y + y^3) \cos(xy)$ の、$(x, y) = (0, 0)$ におけるテイラー展開の4次の項までを求めよ。ただし $\exp(x) = e^x$ である。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\frac{\sin x}{x}) - \sin(3x) + ax + bx^2}{2x^3 - x^5}$ が存在するような実数 $a, b$ の値を求め、そのときの極限値を求めよ。

(2) $y = \varphi(x)$ を $x = 0$ のある近傍において定義された、方程式 $2y \cos x + e^{x+y} - 1 = 0$ の陰関数で $\varphi(0) = 0$ であるものとする。$\varphi'(0)$ および $\varphi''(0)$ を求めよ。

(3) 関数 $f(x, y) = \exp(y + y^3) \cos(xy)$ の、$(x, y) = (0, 0)$ におけるテイラー展開の4次の項までを求めよ。ただし $\exp(x) = e^x$ である。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\sin x$ と $\log(1+x)$ のマクローリン展開を利用する。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

$\log(\frac{\sin x}{x}) = \log(1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots) = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \frac{1}{2}(-\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots)^2 + \dots = -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} + O(x^6)$

$\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \dots = 3x - \frac{9x^3}{2} + \frac{81x^5}{40} - \dots$

$\log(\frac{\sin x}{x}) - \sin(3x) + ax + bx^2 = (-\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} + \dots) - (3x - \frac{9x^3}{2} + \frac{81x^5}{40} - \dots) + ax + bx^2 = (a-3)x + (b-\frac{1}{6})x^2 + (\frac{9}{2})x^3 + O(x^4)$

分母は $2x^3 - x^5 = 2x^3 + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{(a-3)x + (b-\frac{1}{6})x^2 + (\frac{9}{2})x^3 + O(x^4)}{2x^3 - x^5}$ が存在するためには、

$a-3 = 0$ かつ $b-\frac{1}{6} = 0$ が必要。したがって $a=3$ かつ $b=\frac{1}{6}$ 。

このとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{(\frac{9}{2})x^3 + O(x^4)}{2x^3 - x^5} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{2} + O(x)}{2 - x^2} = \frac{9/2}{2} = \frac{9}{4}$

(2) $2y \cos x + e^{x+y} - 1 = 0$ であり、$y = \varphi(x)$ であり、$\varphi(0) = 0$ である。

$2\varphi(x) \cos x + e^{x+\varphi(x)} - 1 = 0$

両辺を $x$ で微分する。

$2\varphi'(x) \cos x - 2\varphi(x) \sin x + e^{x+\varphi(x)} (1 + \varphi'(x)) = 0$

$x = 0$ を代入する。$\varphi(0) = 0$ なので、

$2\varphi'(0) \cos 0 - 2\varphi(0) \sin 0 + e^{0+\varphi(0)} (1 + \varphi'(0)) = 0$

$2\varphi'(0) + 1 + \varphi'(0) = 0$

$3\varphi'(0) = -1$

$\varphi'(0) = -\frac{1}{3}$

さらに微分する。

$2\varphi''(x) \cos x - 2\varphi'(x) \sin x - 2\varphi'(x) \sin x - 2\varphi(x) \cos x + e^{x+\varphi(x)} (1 + \varphi'(x))^2 + e^{x+\varphi(x)} \varphi''(x) = 0$

$2\varphi''(x) \cos x - 4\varphi'(x) \sin x - 2\varphi(x) \cos x + e^{x+\varphi(x)} (1 + \varphi'(x))^2 + e^{x+\varphi(x)} \varphi''(x) = 0$

$x=0$ を代入する。

$2\varphi''(0) - 0 - 0 + e^{0} (1 - \frac{1}{3})^2 + e^{0} \varphi''(0) = 0$

$2\varphi''(0) + (\frac{2}{3})^2 + \varphi''(0) = 0$

$3\varphi''(0) = -\frac{4}{9}$

$\varphi''(0) = -\frac{4}{27}$

(3) $f(x, y) = \exp(y + y^3) \cos(xy) = e^{y+y^3} \cos(xy)$

$e^{y+y^3} = 1 + (y+y^3) + \frac{(y+y^3)^2}{2!} + \frac{(y+y^3)^3}{3!} + \dots = 1 + y + y^3 + \frac{y^2 + 2y^4 + \dots}{2} + \frac{y^3 + \dots}{6} + \dots = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{7y^3}{6} + O(y^4)$

$\cos(xy) = 1 - \frac{(xy)^2}{2!} + \frac{(xy)^4}{4!} - \dots = 1 - \frac{x^2 y^2}{2} + O(x^4 y^4)$

$f(x, y) = (1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{7y^3}{6} + \dots) (1 - \frac{x^2 y^2}{2} + \dots) = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{7y^3}{6} - \frac{x^2 y^2}{2} + \dots$

4次の項までを求めると、

$f(x, y) = 1 + y + \frac{y^2}{2} + \frac{7y^3}{6} - \frac{x^2 y^2}{2} + O(4)$

$f(0,0)=1$, $f_x=0$, $f_y=1$, $f_{xx}=0$, $f_{xy}=0$, $f_{yy}=1$, $f_{xxx}=0$, $f_{xxy}=0$, $f_{xyy}=-2$, $f_{yyy}=7$, $f_{xxxx}=0$, $f_{xxxy}=0$, $f_{xxyy}=-2$, $f_{xyyy}=0$, $f_{yyyy}=0$

$f(x,y) \approx 1 + y + \frac{y^2}{2} - xy^2 + \frac{7y^3}{6} - \frac{x^2 y^2}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=\frac{1}{6}$, 極限値: $\frac{9}{4}$

(2) $\varphi'(0) = -\frac{1}{3}$, $\varphi''(0) = -\frac{4}{27}$

(3) $1 + y + \frac{y^2}{2} - \frac{x^2 y^2}{2} + \frac{7y^3}{6}$