$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

## 問題の内容

問題は、不定積分 $\int \sin(3x) \cos(2x) dx$ を計算することです。

## 解き方の手順

1. 三角関数の積和の公式を利用します。公式は以下の通りです。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

2. 上記の公式を適用して、積分を書き換えます。

$A = 3x$, $B = 2x$ とすると、

$\sin(3x) \cos(2x) = \frac{1}{2} [\sin(3x+2x) + \sin(3x-2x)] = \frac{1}{2} [\sin(5x) + \sin(x)]$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sin(3x) \cos(2x) dx = \int \frac{1}{2} [\sin(5x) + \sin(x)] dx = \frac{1}{2} \int [\sin(5x) + \sin(x)] dx$

3. 積分を計算します。

$\int \sin(5x) dx = -\frac{1}{5} \cos(5x) + C_1$

$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int [\sin(5x) + \sin(x)] dx = \frac{1}{2} [-\frac{1}{5} \cos(5x) - \cos(x)] + C$

$= -\frac{1}{10} \cos(5x) - \frac{1}{2} \cos(x) + C$

## 最終的な答え

$-\frac{1}{10} \cos(5x) - \frac{1}{2} \cos(x) + C$