与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int_1^{\frac{5}{2}} (x-1) \sqrt{2x-1} \, dx$ (2) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{1+\cos x} \, dx$ (3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int_1^{\frac{5}{2}} (x-1) \sqrt{2x-1} \, dx$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{1+\cos x} \, dx$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^{\frac{5}{2}} (x-1) \sqrt{2x-1} \, dx$

$t = 2x-1$ と置換すると、$x = \frac{t+1}{2}$、$dx = \frac{1}{2} dt$。積分範囲は、$x=1$のとき$t=1$、$x=\frac{5}{2}$のとき$t=4$となる。

よって、

$$\int_1^{\frac{5}{2}} (x-1) \sqrt{2x-1} \, dx = \int_1^4 (\frac{t+1}{2} - 1) \sqrt{t} \frac{1}{2} \, dt = \int_1^4 \frac{t-1}{4} \sqrt{t} \, dt = \frac{1}{4} \int_1^4 (t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}}) \, dt$$

$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_1^4 = \frac{1}{4} \left[ (\frac{2}{5} (4)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} - \frac{2}{3}) \right] = \frac{1}{4} \left[ (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{3} \cdot 8) - (\frac{6-10}{15}) \right]$$

$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{64}{5} - \frac{16}{3} + \frac{4}{15} \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{192 - 80 + 4}{15} \right] = \frac{1}{4} \cdot \frac{116}{15} = \frac{29}{15}$$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{1+\cos x} \, dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$より、

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{1+\cos x} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\cos x (1+\cos x)} \, dx$$

$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x \, dx$。積分範囲は、$x=0$のとき$t=1$、$x=\frac{\pi}{3}$のとき$t=\frac{1}{2}$となる。

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\cos x (1+\cos x)} \, dx = \int_1^{\frac{1}{2}} \frac{-dt}{t(1+t)} = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{dt}{t(1+t)} = \int_{\frac{1}{2}}^1 (\frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}) \, dt = \left[ \ln|t| - \ln|1+t| \right]_{\frac{1}{2}}^1$$

$$= \left[ \ln \left| \frac{t}{1+t} \right| \right]_{\frac{1}{2}}^1 = \ln(\frac{1}{2}) - \ln(\frac{1/2}{3/2}) = \ln(\frac{1}{2}) - \ln(\frac{1}{3}) = \ln(\frac{1/2}{1/3}) = \ln(\frac{3}{2})$$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} \, dx$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$より、

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{1+\sin^2 x} \, dx$$

$t = 1+\sin^2 x$ と置換すると、$dt = 2 \sin x \cos x \, dx$。積分範囲は、$x=0$のとき$t=1$、$x=\frac{\pi}{2}$のとき$t=2$となる。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{1+\sin^2 x} \, dx = \int_1^2 \frac{dt}{t} = \left[ \ln |t| \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{29}{15}$

(2) $\ln \frac{3}{2}$

(3) $\ln 2$