以下の2つの定積分を計算する問題です。 (3) $\int \sin^2 x \, dx$ (4) $\int \sin 3x \cos 2x \, dx$ (5) $\int \cos^3 x \, dx$

1. 問題の内容

以下の2つの定積分を計算する問題です。

(3) $\int \sin^2 x \, dx$

(4) $\int \sin 3x \cos 2x \, dx$

(5) $\int \cos^3 x \, dx$

2. 解き方の手順

(3) $\int \sin^2 x \, dx$

$\sin^2 x$ を半角の公式を用いて変形します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

よって、

$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \sin 2x \right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\int \sin 3x \cos 2x \, dx$

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を用います。

$\sin 3x \cos 2x = \frac{1}{2} (\sin (3x+2x) + \sin(3x-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x)$

よって、

$\int \sin 3x \cos 2x \, dx = \int \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} \cos 5x - \cos x \right) + C = -\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{2} \cos x + C$

(5) $\int \cos^3 x \, dx$

$\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x \, dx$

$\int \cos^3 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx = \int (1 - u^2) \, du = u - \frac{1}{3} u^3 + C = \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x + C$

3. 最終的な答え

(3) $\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\int \sin 3x \cos 2x \, dx = -\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{2} \cos x + C$

(5) $\int \cos^3 x \, dx = \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x + C$