問題1は、与えられた陰関数 $f(x, y) = 0$ に対して、導関数 $y' = \frac{dy}{dx}$ を求める問題です。 問題2は、陰関数で表された曲線上の与えられた点における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた陰関数 $f(x, y) = 0$ に対して、導関数 $y' = \frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

問題2は、陰関数で表された曲線上の与えられた点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1

陰関数微分を用いて、$y'$を求めます。

(1) $x^2 + xy + y^2 = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(x + 2y) = -2x - y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$

(2) $x^3 + y^3 - 3xy = 0$

両辺を $x$ で微分すると、

$3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} - 3y - 3x\frac{dy}{dx} = 0$

$3y^2\frac{dy}{dx} - 3x\frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2$

$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y - x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

(3) $x = y^2 - y + 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$1 = 2y\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx}$

$1 = \frac{dy}{dx}(2y - 1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$

(4) $x(y^2 - 2y) = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$(y^2 - 2y) + x(2y\frac{dy}{dx} - 2\frac{dy}{dx}) = 0$

$x(2y\frac{dy}{dx} - 2\frac{dy}{dx}) = -y^2 + 2y$

$\frac{dy}{dx}(2xy - 2x) = -y^2 + 2y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2 + 2y}{2xy - 2x} = \frac{y(2 - y)}{2x(y - 1)}$

(5) $xy - xe^y = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$y + x\frac{dy}{dx} - e^y - xe^y\frac{dy}{dx} = 0$

$x\frac{dy}{dx} - xe^y\frac{dy}{dx} = e^y - y$

$\frac{dy}{dx}(x - xe^y) = e^y - y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y - y}{x - xe^y} = \frac{e^y - y}{x(1 - e^y)}$

(6) $\frac{y}{x} - \sin(xy) = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2} - \cos(xy)(y + x\frac{dy}{dx}) = 0$

$\frac{x\frac{dy}{dx} - y}{x^2} - y\cos(xy) - x\cos(xy)\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(\frac{x}{x^2} - x\cos(xy)) = y\cos(xy) + \frac{y}{x^2}$

$\frac{dy}{dx}(\frac{1}{x} - x\cos(xy)) = y\cos(xy) + \frac{y}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y\cos(xy) + \frac{y}{x^2}}{\frac{1}{x} - x\cos(xy)} = \frac{yx^2\cos(xy) + y}{x^3(\frac{1}{x} - x\cos(xy))} = \frac{yx^2\cos(xy) + y}{x^2 - x^4\cos(xy)}$

問題2は問題文の一部が欠落しており、どの陰関数と点について接線を求めるかが不明であるため、解答できません。

3. 最終的な答え

問題1の答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{y(2 - y)}{2x(y - 1)}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^y - y}{x(1 - e^y)}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{y(1+x^2\cos(xy))}{x^2 - x^4\cos(xy)}$

問題2: 問題文が不完全なため解答できません。