与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int_1^2 \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x + 2} dx$ (2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{a + \sin x} dx$ (ただし、$a > 1$) (3) $\int_0^5 \frac{1}{1 + e^{-x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int_1^2 \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x + 2} dx$

(2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{a + \sin x} dx$ (ただし、$a > 1$)

(3) $\int_0^5 \frac{1}{1 + e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^2 \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x + 2} dx$

$u = x^3 + x + 2$ と置換すると、$du = (3x^2 + 1)dx$ となります。

積分範囲は $x = 1$ のとき $u = 1^3 + 1 + 2 = 4$、

$x = 2$ のとき $u = 2^3 + 2 + 2 = 12$ となります。

したがって、

$$\int_1^2 \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x + 2} dx = \int_4^{12} \frac{1}{u} du = [\ln |u|]_4^{12} = \ln 12 - \ln 4 = \ln \frac{12}{4} = \ln 3$$

(2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{a + \sin x} dx$

$u = a + \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。

積分範囲は $x = -\frac{\pi}{2}$ のとき $u = a + \sin(-\frac{\pi}{2}) = a - 1$、

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = a + \sin(\frac{\pi}{2}) = a + 1$ となります。

したがって、

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{a + \sin x} dx = \int_{a-1}^{a+1} \frac{1}{u} du = [\ln |u|]_{a-1}^{a+1} = \ln(a+1) - \ln(a-1) = \ln \frac{a+1}{a-1}$$

ただし、$a > 1$ なので、$a+1$ と $a-1$ は常に正の値をとります。

(3) $\int_0^5 \frac{1}{1 + e^{-x}} dx$

$\frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x(1 + e^{-x})} = \frac{e^x}{e^x + 1}$ と変形できます。

$u = e^x + 1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

積分範囲は $x = 0$ のとき $u = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2$、

$x = 5$ のとき $u = e^5 + 1$ となります。

したがって、

$$\int_0^5 \frac{1}{1 + e^{-x}} dx = \int_0^5 \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \int_2^{e^5 + 1} \frac{1}{u} du = [\ln |u|]_2^{e^5 + 1} = \ln(e^5 + 1) - \ln 2 = \ln \frac{e^5 + 1}{2}$$

あるいは、原始関数を直接求めることもできます。

$\int \frac{1}{1 + e^{-x}} dx = \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \ln (e^x + 1) + C$

したがって、

$\int_0^5 \frac{1}{1 + e^{-x}} dx = [\ln(e^x + 1)]_0^5 = \ln(e^5 + 1) - \ln(e^0 + 1) = \ln(e^5 + 1) - \ln 2 = \ln \frac{e^5 + 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\ln 3$

(2) $\ln \frac{a+1}{a-1}$

(3) $\ln \frac{e^5 + 1}{2}$