定理1.31における $y = g(x)$ について、以下の式を示せ。 $g''(x) = \frac{-f_{xx}f_y^2 + 2f_xf_yf_{xy} - f_{yy}f_x^2}{f_y^3}$ ただし、$f_{xx}, ...$ は $f_{xx}(x, g(x)), ...$ の略記である。

1. 問題の内容

定理1.31における $y = g(x)$ について、以下の式を示せ。

$g''(x) = \frac{-f_{xx}f_y^2 + 2f_xf_yf_{xy} - f_{yy}f_x^2}{f_y^3}$

ただし、$f_{xx}, ...$ は $f_{xx}(x, g(x)), ...$ の略記である。

2. 解き方の手順

定理1.31は陰関数定理に関わる内容であると思われる。陰関数定理より、$f(x, y) = 0$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y}$

$g'(x) = \frac{dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y}$

と表せる。$g''(x)$ を求めるためには、$g'(x)$ をさらに $x$ で微分する必要がある。

$g''(x) = \frac{d}{dx} (-\frac{f_x}{f_y})$

商の微分公式を適用する。

$g''(x) = -\frac{\frac{d}{dx}(f_x)f_y - f_x\frac{d}{dx}(f_y)}{f_y^2}$

ここで$\frac{d}{dx}(f_x)$と$\frac{d}{dx}(f_y)$をそれぞれ計算する。連鎖律より、

$\frac{d}{dx}(f_x) = f_{xx} + f_{xy}\frac{dy}{dx}$

$\frac{d}{dx}(f_y) = f_{yx} + f_{yy}\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y}$を代入する。

$\frac{d}{dx}(f_x) = f_{xx} + f_{xy}(-\frac{f_x}{f_y}) = f_{xx} - f_{xy}\frac{f_x}{f_y}$

$\frac{d}{dx}(f_y) = f_{yx} + f_{yy}(-\frac{f_x}{f_y}) = f_{yx} - f_{yy}\frac{f_x}{f_y}$

これらを$g''(x)$の式に代入する。

$g''(x) = -\frac{(f_{xx} - f_{xy}\frac{f_x}{f_y})f_y - f_x(f_{yx} - f_{yy}\frac{f_x}{f_y})}{f_y^2}$

$g''(x) = -\frac{f_{xx}f_y - f_{xy}f_x - f_xf_{yx} + f_{yy}\frac{f_x^2}{f_y}}{f_y^2}$

$g''(x) = -\frac{f_{xx}f_y^2 - f_{xy}f_xf_y - f_xf_{yx}f_y + f_{yy}f_x^2}{f_y^3}$

$f_{xy} = f_{yx}$より

$g''(x) = \frac{-f_{xx}f_y^2 + 2f_{xy}f_xf_y - f_{yy}f_x^2}{f_y^3}$

3. 最終的な答え

$g''(x) = \frac{-f_{xx}f_y^2 + 2f_{xy}f_xf_y - f_{yy}f_x^2}{f_y^3}$