問題は以下の通りです。 [2] 次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{1}{\sqrt{25x^2 - 30x + 16}} dx$ (2) $\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} dx$ [3] 部分積分を利用して次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \tan^{-1} x dx$ (2) $\int \sin^{-1} x dx$ (3) $\int \cos^{-1} x dx$ 今回は、[3]の(1) $\int \tan^{-1} x dx$ を解きます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

[2] 次の不定積分を求めよ。

(1) $\int \frac{1}{\sqrt{25x^2 - 30x + 16}} dx$

(2) $\int \sqrt{-9x^2 + 12x + 7} dx$

[3] 部分積分を利用して次の不定積分を求めよ。

(1) $\int \tan^{-1} x dx$

(2) $\int \sin^{-1} x dx$

(3) $\int \cos^{-1} x dx$

今回は、[3]の(1) $\int \tan^{-1} x dx$ を解きます。

2. 解き方の手順

$\int \tan^{-1} x dx$ を部分積分を用いて解きます。

$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \int x \frac{1}{1+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。

$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} dt$ なので、

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln |t| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

したがって、

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$