$\arctan x$ の導関数が $\frac{1}{1+x^2}$ であることを、逆関数の微分の公式を用いて示す問題です。

1. 問題の内容

$\arctan x$ の導関数が $\frac{1}{1+x^2}$ であることを、逆関数の微分の公式を用いて示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \arctan x$ とおきます。このとき、$x = \tan y$ となります。逆関数の微分の公式は、$\frac{dx}{dy} \neq 0$ のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

で与えられます。

この公式を使って $\arctan x$ の導関数を求めます。

$x = \tan y$ を $y$ で微分すると、

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(\tan y) = \frac{1}{\cos^2 y} = \sec^2 y$

となります。

$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ であるから、

$\frac{dx}{dy} = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$

となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{1+x^2}$

となります。ここで、$y = \arctan x$ であるから、

$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$