部分積分を使って、次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \arctan(x) dx$ (2) $\int \arcsin(x) dx$ (3) $\int \arccos(x) dx$

1. 問題の内容

部分積分を使って、次の不定積分を求めよ。

(1) $\int \arctan(x) dx$

(2) $\int \arcsin(x) dx$

(3) $\int \arccos(x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \arctan(x) dx$

部分積分を行う。$u = \arctan(x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ となる。

よって、

$$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算する。

$t = 1+x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となる。

$$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

したがって、

$$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$

(2) $\int \arcsin(x) dx$

部分積分を行う。$u = \arcsin(x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となる。

よって、

$$\int \arcsin(x) dx = x\arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算する。

$t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x dx$ より、$x dx = -\frac{1}{2} dt$ となる。

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) dt = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$$

したがって、

$$\int \arcsin(x) dx = x\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C$$

(3) $\int \arccos(x) dx$

部分積分を行う。$u = \arccos(x)$, $dv = dx$ とすると、$du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となる。

よって、

$$\int \arccos(x) dx = x\arccos(x) - \int -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = x\arccos(x) + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

(2)と同様に、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$$\int \arccos(x) dx = x\arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

(2) $\int \arcsin(x) dx = x\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C$

(3) $\int \arccos(x) dx = x\arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C$