(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^4 x dx$ を計算する。 (2) $\int_{1}^{e} \log x dx$ を計算する。 (5) 曲線 $y=x^2-x-2$ と直線 $y=x+1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 (6) 曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^4 x dx$ を計算する。

(2) $\int_{1}^{e} \log x dx$ を計算する。

(5) 曲線 $y=x^2-x-2$ と直線 $y=x+1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

(6) 曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$となる。

$x=0$のとき、$u = \cos 0 = 1$。

$x=\frac{\pi}{2}$のとき、$u = \cos \frac{\pi}{2} = 0$。

したがって、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^4 x dx = \int_{1}^{0} u^4 (-du) = \int_{0}^{1} u^4 du = \left[ \frac{1}{5} u^5 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} (1^5 - 0^5) = \frac{1}{5}$$

(2)

部分積分を用いる。$\int u dv = uv - \int v du$。

$u = \log x$、$dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = x$。

$$\int_{1}^{e} \log x dx = \left[ x \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx = \left[ x \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 dx = \left[ x \log x \right]_{1}^{e} - \left[ x \right]_{1}^{e}$$

$$= (e \log e - 1 \log 1) - (e - 1) = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) = e - e + 1 = 1$$

(5)

まず、交点を求める。$x^2 - x - 2 = x + 1$を解くと、

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = -1, 3$

面積 $S$ は、

$$S = \int_{-1}^{3} (x+1 - (x^2-x-2)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$$

$$= (-\frac{1}{3}(3^3) + 3^2 + 3(3)) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1)) = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (\frac{1}{3} - 2) = 9 - (-\frac{5}{3}) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$$

(6)

回転体の体積は、

$$V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx$$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いると、

$$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right]$$

$$= \frac{\pi}{2} (\pi - 0 - 0 + 0) = \frac{\pi^2}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5}$

(2) $1$

(5) $\frac{32}{3}$

(6) $\frac{\pi^2}{2}$