与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$ (2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

はい、承知いたしました。問題の回答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$

(2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$ について

* **漸近線を求める:**

まず、割り算を行い、関数の形を変形します。

$2x^2 + x + 1$ を $x + 1$ で割ると、$2x - 1$ あまり $2$ となります。

したがって、

$y = 2x - 1 + \frac{2}{x+1}$

ここから、

斜め漸近線は $y = 2x - 1$

垂直漸近線は $x = -1$ であることがわかります。

* **増減を調べる:**

導関数を計算します。

$y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)^2 - 2}{(x+1)^2} = \frac{2(x^2 + 2x)}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2}$

$y'=0$ となるのは $x = 0, -2$ です。また、$x=-1$ で定義されません。増減表を作成すると、以下のようになります。

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y | 増加 | -7 | 減少 | 不存在 | 減少 | 1 | 増加 |

* **グラフの概形を描く:**

以上の情報から、漸近線と増減を考慮してグラフの概形を描きます。

(2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$ について

* **定義域:**

$x^2 + 1$ は常に正なので、定義域はすべての実数です。

* **漸近線を求める:**

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+1}{x^2+1} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-2x+1}{x^2+1} = 1$

よって、水平漸近線は $y = 1$ です。垂直漸近線はありません。

* **増減を調べる:**

導関数を計算します。

$y' = \frac{2(x-1)(x^2+1) - (x-1)^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x^2+1-x(x-1))}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x^2+1-x^2+x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 1, -1$ です。増減表を作成すると、以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 2 | 減少 | 0 | 増加 |

* **グラフの概形を描く:**

以上の情報から、漸近線と増減を考慮してグラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 1 + \frac{2}{x+1}$ のグラフの概形は、垂直漸近線 $x = -1$、斜め漸近線 $y = 2x - 1$ を持ち、増減表に従って描画されます。

(2) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$ のグラフの概形は、水平漸近線 $y = 1$ を持ち、増減表に従って描画されます。