次の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1+x)}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\log x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ (4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{x}$ (5) $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ (7) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{\cos x - 1}$ (8) $\lim_{x \to +0} x \log x$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1+x)}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\log x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

(4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{x}$

(5) $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{\cos x - 1}$

(8) $\lim_{x \to +0} x \log x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1+x)}$

$x \to 0$のとき、$e^x - 1 \to 0$、$\log(1+x) \to 0$なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\frac{1}{1+x}} = \lim_{x \to 0} (1+x)e^x = (1+0)e^0 = 1$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\log x}$

$x \to 1$のとき、$x^2 - 1 \to 0$、$\log x \to 0$なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\log x} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} 2x^2 = 2(1)^2 = 2$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

$x \to \infty$のとき、$\log x \to \infty$、$x^2 \to \infty$なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} = 0$

(4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{x}$

$\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{x} = \frac{\cos \pi}{\pi} = \frac{-1}{\pi}$

(5) $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

$x \to \infty$のとき、$x^2 \to \infty$、$e^x \to \infty$なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$

$x \to 0$のとき、$x - \sin x \to 0$、$x^3 \to 0$なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{\cos x - 1}$

$x \to 0$のとき、$e^x + e^{-x} - 2 \to 0$、$\cos x - 1 \to 0$なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{-\cos x} = \frac{1+1}{-1} = -2$

(8) $\lim_{x \to +0} x \log x$

$x \to +0$のとき、$x \to 0$、$\log x \to -\infty$なので、$0 \cdot (-\infty)$の不定形です。

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$

$x \to +0$のとき、$\log x \to -\infty$、$\frac{1}{x} \to \infty$なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) 0

(4) $-\frac{1}{\pi}$

(5) 0

(6) $\frac{1}{6}$

(7) -2

(8) 0