$\int \cos^{-1} x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \cos^{-1} x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

逆三角関数の積分なので、部分積分を用います。

$\cos^{-1} x$ を $u$、$1$ を $v'$ とおくと、

$u = \cos^{-1} x$, $v' = 1$

$u' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $v = x$

となります。

部分積分の公式 $\int u v' dx = u v - \int u' v dx$ を用いると、

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \int x \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx$

$= x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$t = 1-x^2$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = -2x$ より $x dx = -\frac{1}{2} dt$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \left( -\frac{1}{2} \right) dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

となります。

$\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

$x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + C$