問題は、以下の3つの関数について、マクローリン展開を5次の項まで求めることです。 (1) $f(x) = e^{2x}$ (2) $f(x) = \cos(3x)$ (3) $f(x) = \log(1+x)$

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの関数について、マクローリン展開を5次の項まで求めることです。

(1) $f(x) = e^{2x}$

(2) $f(x) = \cos(3x)$

(3) $f(x) = \log(1+x)$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開であり、以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \frac{f'''''(0)}{5!}x^5 + ...$

それぞれの関数について、5次までの導関数を計算し、$x=0$ での値を求めます。

(1) $f(x) = e^{2x}$

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = 2e^{2x}$, $f'(0) = 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$, $f''(0) = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x}$, $f'''(0) = 8$

$f''''(x) = 16e^{2x}$, $f''''(0) = 16$

$f'''''(x) = 32e^{2x}$, $f'''''(0) = 32$

よって、マクローリン展開は、

$f(x) = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 + \frac{16}{4!}x^4 + \frac{32}{5!}x^5 + ...$

$= 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4 + \frac{4}{15}x^5 + ...$

(2) $f(x) = \cos(3x)$

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(x) = -3\sin(3x)$, $f'(0) = 0$

$f''(x) = -9\cos(3x)$, $f''(0) = -9$

$f'''(x) = 27\sin(3x)$, $f'''(0) = 0$

$f''''(x) = 81\cos(3x)$, $f''''(0) = 81$

$f'''''(x) = -243\sin(3x)$, $f'''''(0) = 0$

よって、マクローリン展開は、

$f(x) = 1 + 0x + \frac{-9}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{81}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 + ...$

$= 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + ...$

(3) $f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$, $f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$, $f'''(0) = 2$

$f''''(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$, $f''''(0) = -6$

$f'''''(x) = \frac{24}{(1+x)^5}$, $f'''''(0) = 24$

よって、マクローリン展開は、

$f(x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{-6}{4!}x^4 + \frac{24}{5!}x^5 + ...$

$= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{5}x^5 + ...$

3. 最終的な答え

(1) $e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4 + \frac{4}{15}x^5 + ...$

(2) $\cos(3x) = 1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 + ...$

(3) $\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{5}x^5 + ...$