$\int (2x-1)\log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int (2x-1)\log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここでは、$u = \log x$ 、$dv = (2x-1) \, dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$ となり、$v = \int (2x-1) \, dx = x^2 - x$ となります。

部分積分の公式に当てはめると、

$\int (2x-1)\log x \, dx = (x^2 - x)\log x - \int (x^2 - x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= (x^2 - x)\log x - \int (x - 1) \, dx$

$= (x^2 - x)\log x - (\frac{1}{2}x^2 - x) + C$

$= x^2\log x - x\log x - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

3. 最終的な答え

$\int (2x-1)\log x \, dx = x^2\log x - x\log x - \frac{1}{2}x^2 + x + C$