(1) 関数 $y = x^3 - x + 4$ のグラフ上の点 $(-2, -2)$ における接線の方程式を求めます。 (2) 関数 $y = x^2 + 5$ のグラフに点 $(-\frac{1}{2}, 3)$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^3 - x + 4$ のグラフ上の点 $(-2, -2)$ における接線の方程式を求めます。

(2) 関数 $y = x^2 + 5$ のグラフに点 $(-\frac{1}{2}, 3)$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^3 - x + 4$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$

$x = -2$ における傾きは、

$3(-2)^2 - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$

点 $(-2, -2)$ を通り、傾きが $11$ の直線の方程式は、

$y - (-2) = 11(x - (-2))$

$y + 2 = 11(x + 2)$

$y + 2 = 11x + 22$

$y = 11x + 20$

(2)

$y = x^2 + 5$ を微分して、

$\frac{dy}{dx} = 2x$

接点の座標を $(t, t^2 + 5)$ とすると、接線の方程式は、

$y - (t^2 + 5) = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 + 5$

$y = 2tx - t^2 + 5$

この接線が $(-\frac{1}{2}, 3)$ を通るので、代入すると、

$3 = 2t(-\frac{1}{2}) - t^2 + 5$

$3 = -t - t^2 + 5$

$t^2 + t - 2 = 0$

$(t + 2)(t - 1) = 0$

$t = -2, 1$

$t = -2$ のとき、接点の座標は $(-2, (-2)^2 + 5) = (-2, 9)$ であり、接線の方程式は、

$y = 2(-2)x - (-2)^2 + 5$

$y = -4x - 4 + 5$

$y = -4x + 1$

$t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 1^2 + 5) = (1, 6)$ であり、接線の方程式は、

$y = 2(1)x - 1^2 + 5$

$y = 2x - 1 + 5$

$y = 2x + 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 11x + 20$

(2) 接線の方程式: $y = -4x + 1$ (接点 $(-2, 9)$) と $y = 2x + 4$ (接点 $(1, 6)$)