(1) $0 \le x < \pi$ のとき、$\tan \frac{x}{2} = t$ とする。$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ を用いて、$\frac{dx}{dt}$ を求めよ。 (2) $\int \frac{1}{1+\sin x + \cos x} dx$ を計算せよ。 (3) $P = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x + \cos x} dx$, $Q = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{1+\sin x + \cos x} dx$ とおく。$P=Q$ であることを示し、これを利用して $P$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x < \pi$ のとき、$\tan \frac{x}{2} = t$ とする。$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ を用いて、$\frac{dx}{dt}$ を求めよ。

(2) $\int \frac{1}{1+\sin x + \cos x} dx$ を計算せよ。

(3) $P = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x + \cos x} dx$, $Q = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{1+\sin x + \cos x} dx$ とおく。$P=Q$ であることを示し、これを利用して $P$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\tan \frac{x}{2} = t$ より、$x = 2 \arctan t$。したがって、

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (2 \arctan t) = \frac{2}{1+t^2}$

(2)

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ を用いて積分を計算する。

$\int \frac{1}{1+\sin x + \cos x} dx = \int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{1}{\frac{1+t^2+2t+1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int \frac{1+t^2}{2+2t} \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{1}{1+t} dt = \log |1+t| + C = \log |1+\tan \frac{x}{2}| + C$

(3)

$Q = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{1+\sin x + \cos x} dx$ において、$x = \frac{\pi}{2} - u$ と変数変換すると、$dx = -du$, $\cos x = \sin u$, $\sin x = \cos u$。

$Q = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\sin^2 u}{1+\cos u + \sin u} (-du) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 u}{1+\sin u + \cos u} du = P$

したがって、$P=Q$。

$P+Q = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{1+\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x + \cos x} dx$

(2)より、$\int \frac{1}{1+\sin x + \cos x} dx = \log |1+\tan \frac{x}{2}| + C$ なので、

$P+Q = \left[ \log |1+\tan \frac{x}{2}| \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \log |1+\tan \frac{\pi}{4}| - \log |1+\tan 0| = \log |1+1| - \log |1+0| = \log 2 - \log 1 = \log 2 - 0 = \log 2$

$P=Q$ より、$2P = \log 2$ なので、$P = \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

(2) $\int \frac{1}{1+\sin x + \cos x} dx = \log |1+\tan \frac{x}{2}| + C$

(3) $P = \frac{1}{2} \log 2$