曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 (0, 18) から引いた接線の方程式とその接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 (0, 18) から引いた接線の方程式とその接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接点の座標は $(t, t^3 + 2)$ と表せます。

* $y = x^3 + 2$ を微分すると $y' = 3x^2$ となります。

したがって、$x = t$ における接線の傾きは $3t^2$ です。

* 接線の方程式は、$y - (t^3 + 2) = 3t^2(x - t)$ と表されます。

* この接線が点 (0, 18) を通るので、この座標を代入すると、

$18 - (t^3 + 2) = 3t^2(0 - t)$

$16 - t^3 = -3t^3$

$2t^3 = -16$

$t^3 = -8$

$t = -2$

* $t = -2$ より、接点の座標は $(-2, (-2)^3 + 2) = (-2, -8 + 2) = (-2, -6)$

* 接線の傾きは $3(-2)^2 = 3(4) = 12$

* よって、接線の方程式は、$y - (-6) = 12(x - (-2))$

$y + 6 = 12(x + 2)$

$y + 6 = 12x + 24$

$y = 12x + 18$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 12x + 18$

接点の座標は $(-2, -6)$