与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x}+x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x}+x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+2x} + x$ の形を変形することを考えます。$x \to -\infty$ なので、$x < 0$ であることに注意して、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ を用います。

$\sqrt{x^2+2x} + x = \frac{(\sqrt{x^2+2x} + x)(\sqrt{x^2+2x} - x)}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{(x^2+2x)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}-x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}$

次に、分母と分子を $x$ で割ることを考えます。ただし、$x<0$ なので、$x = -\sqrt{x^2}$ を利用します。

$\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x})}-x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}}-x} = \frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}}-x} = \frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}}-x}$

さらに分母分子を $x$ で割ると、

$\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}}-x} = \frac{2}{-\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1}$

ここで、$x \to -\infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ なので、$\sqrt{1+\frac{2}{x}} \to \sqrt{1+0} = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x}+x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1} = \frac{2}{-\sqrt{1+0}-1} = \frac{2}{-1-1} = \frac{2}{-2} = -1$

3. 最終的な答え

-1