与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = e^{3x}$ (2) $y = e^{-x}$ (3) $y = e^{-4x}$ (4) $y = xe^x$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = e^{3x}$

(2) $y = e^{-x}$

(3) $y = e^{-4x}$

(4) $y = xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x}$ の微分

合成関数の微分公式を用います。$y = e^u$、$u = 3x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = e^u = e^{3x}$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、$\frac{dy}{dx} = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

(2) $y = e^{-x}$ の微分

同様に合成関数の微分公式を用います。$y = e^u$、$u = -x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = e^u = e^{-x}$

$\frac{du}{dx} = -1$

したがって、$\frac{dy}{dx} = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$

(3) $y = e^{-4x}$ の微分

同様に合成関数の微分公式を用います。$y = e^u$、$u = -4x$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = e^u = e^{-4x}$

$\frac{du}{dx} = -4$

したがって、$\frac{dy}{dx} = e^{-4x} \cdot (-4) = -4e^{-4x}$

(4) $y = xe^x$ の微分

積の微分公式を用います。$y = uv$とすると、$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$となります。

$u = x$、$v = e^x$ とすると、

$u' = 1$、$v' = e^x$

したがって、$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

3. 最終的な答え

(1) $3e^{3x}$

(2) $-e^{-x}$

(3) $-4e^{-4x}$

(4) $(x+1)e^x$