$y = \sin x \cos 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \sin x \cos 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を利用します。

$y = u(x)v(x)$ のとき、$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ です。

ここで、$u(x) = \sin x$、$v(x) = \cos 2x$ とおきます。

すると、$u'(x) = \cos x$、$v'(x) = -2\sin 2x$ となります。

したがって、

$y' = (\sin x)' \cos 2x + \sin x (\cos 2x)'$

$y' = \cos x \cos 2x + \sin x (-2\sin 2x)$

$y' = \cos x \cos 2x - 2 \sin x \sin 2x$

ここで、$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると、

$y' = \cos x \cos 2x - 2 \sin x (2\sin x \cos x)$

$y' = \cos x \cos 2x - 4 \sin^2 x \cos x$

$y' = \cos x (\cos 2x - 4 \sin^2 x)$

さらに、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$y' = \cos x (1 - 2\sin^2 x - 4 \sin^2 x)$

$y' = \cos x (1 - 6\sin^2 x)$

3. 最終的な答え

$\cos x (1 - 6\sin^2 x)$