$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数の形をしているため、連鎖律（chain rule）を用いて微分します。

まず、$y = u^3$ とおくと、$u = \cos 2x$ となります。

$y$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

次に、$u = \cos 2x$ を $x$ で微分します。$v = 2x$ とおくと、$u = \cos v$ となります。

$\frac{du}{dv} = -\sin v$

$v = 2x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dv}{dx} = 2$

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = -\sin v \cdot 2 = -2\sin 2x$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-2\sin 2x)$

$u = \cos 2x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 3(\cos 2x)^2 \cdot (-2\sin 2x)$

$\frac{dy}{dx} = -6\cos^2 2x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -6\cos^2 2x \sin 2x$