関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分し、$y'$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分し、$y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は分数関数なので、合成関数の微分法（連鎖律）と商の微分法を使用します。ここでは、

$u = x^3 + 3x^2 + 1$ とおくと、

$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$

と表せます。

まず、$y$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

次に、$u$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 6x$

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (3x^2 + 6x) = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$