$y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

ここで、$u = \sin x$、$v = \sin x + \cos x$ とします。

$u' = \cos x$

$v' = \cos x - \sin x$

したがって、

$y' = \frac{(\cos x)(\sin x + \cos x) - (\sin x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{\cos x \sin x + \cos^2 x - \sin x \cos x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、

$y' = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$