関数 $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$ の極値を求める問題です。

## 問題26 (1) の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y - 4$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1$

(2) 連立方程式 $f_x = 0$, $f_y = 0$ を解く。

$2x - y - 4 = 0$

$-x + 2y - 1 = 0$

この連立方程式を解きます。

$y = 2x - 4$ を $-x + 2y - 1 = 0$ に代入すると、

$-x + 2(2x - 4) - 1 = 0$

$-x + 4x - 8 - 1 = 0$

$3x = 9$

$x = 3$

$y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$

したがって、停留点は $(3, 2)$ です。

(3) ヘッセ行列を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -1$

ヘッセ行列は

$H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

(4) ヘッセ行列の行列式を計算する。

$D = \det(H) = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = (2)(2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

(5) 極値を判定する。

停留点 $(3, 2)$ において、$D = 3 > 0$ かつ $f_{xx} = 2 > 0$ なので、$(3, 2)$ は極小値を取ります。

極小値は $f(3, 2) = 3^2 - (3)(2) + 2^2 - 4(3) - 2 = 9 - 6 + 4 - 12 - 2 = -7$

3. 最終的な答え

$f(x, y)$ は点 $(3, 2)$ で極小値 $-7$ をとる。