関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分します。

まず、$y$を $x$ で微分することを $dy/dx$ と表します。

$y = \sqrt{1 + \sin x}$ なので、これを $x$ で微分します。

合成関数の微分を利用します。

$y = \sqrt{u}$, $u = 1 + \sin x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$ なので、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ となります。

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = 1 + \sin x$ なので、$\frac{du}{dx} = \cos x$ となります。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$