関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分するには、商の微分公式または合成関数の微分公式（チェーンルール）を使います。ここでは、合成関数の微分公式を使います。

まず、$y$ を $y = (x^2 - 1)^{-1}$ と書き換えます。

次に、$u = x^2 - 1$ と置くと、$y = u^{-1}$ となります。

すると、$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$ と $\frac{du}{dx} = 2x$ が得られます。

合成関数の微分公式により、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ ですから、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$