与えられた曲線と直線によって囲まれた領域の面積を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $y = (x^2 - 1)(x^2 - 3)$ と $y = 3$ で囲まれた領域の面積を求める。 (2) $y^2 = x$ と $y = x - 1$ で囲まれた領域の面積を求める。 ここでは、問題(2)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた曲線と直線によって囲まれた領域の面積を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $y = (x^2 - 1)(x^2 - 3)$ と $y = 3$ で囲まれた領域の面積を求める。

(2) $y^2 = x$ と $y = x - 1$ で囲まれた領域の面積を求める。

ここでは、問題(2)を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$y^2 = x$ と $y = x - 1$ の交点を求めます。$x = y + 1$ を $y^2 = x$ に代入すると、

$y^2 = y + 1$

$y^2 - y - 1 = 0$

この二次方程式を解くと、

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

交点のy座標は $y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ です。

対応するx座標は、$x = y + 1$ より、

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ です。

囲まれた領域の面積は、yについて積分すると計算しやすくなります。

$x = y^2$ と $x = y + 1$ で囲まれた領域の面積は、

$S = \int_{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} (y + 1 - y^2) dy$

積分を実行します。

$\int (y + 1 - y^2) dy = \frac{1}{2}y^2 + y - \frac{1}{3}y^3$

$S = [\frac{1}{2}y^2 + y - \frac{1}{3}y^3]_{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

ここで、$\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $\beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ とすると、

$S = (\frac{1}{2}\alpha^2 + \alpha - \frac{1}{3}\alpha^3) - (\frac{1}{2}\beta^2 + \beta - \frac{1}{3}\beta^3)$

$= \frac{1}{2}(\alpha^2 - \beta^2) + (\alpha - \beta) - \frac{1}{3}(\alpha^3 - \beta^3)$

$\alpha - \beta = \sqrt{5}$

$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}$

$\alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha - \beta)((\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta) = \sqrt{5} \cdot (1 + 1) = 2\sqrt{5}$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{5} + \sqrt{5} - \frac{1}{3}(2\sqrt{5}) = \frac{3\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{6} = \frac{5\sqrt{5}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{5}}{6}$