関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ （ただし $x > 0$）を微分せよ。ここで $\log$ は自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x+1)}{x}$ （ただし $x > 0$）を微分せよ。ここで $\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を用いる。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

である。

この問題では、$u(x) = \log(x+1)$、$v(x) = x$ とおく。

まず、$u(x)$ の微分を計算する。

$u'(x) = \frac{d}{dx} \log(x+1) = \frac{1}{x+1}$

次に、$v(x)$ の微分を計算する。

$v'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$

したがって、商の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x - \log(x+1) \cdot 1}{x^2}$

$= \frac{\frac{x}{x+1} - \log(x+1)}{x^2}$

$= \frac{\frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x+1}}{x^2}$

$= \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - (x+1)\log(x+1)}{x^2(x+1)}$