関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いて、

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \frac{d}{dx}(x \log x - x)$

を計算します。

次に、$x \log x - x$ の微分を計算します。積の微分法を用いると、

$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

となります。

したがって、

$\frac{d}{dx}(x \log x - x) = \frac{d}{dx}(x \log x) - \frac{d}{dx}(x) = (\log x + 1) - 1 = \log x$

となります。

以上より、

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \log x = 2x (\log x - 1) \log x$

となります。

3. 最終的な答え

$2x (\log x - 1) \log x$