関数 $y = \log \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$ を $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$ を $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて関数を簡略化します。

$y = \log \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} = \log (1 - \sin x) - \log (1 + \sin x)$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log (1 - \sin x) = \frac{1}{1 - \sin x} \cdot (-\cos x) = \frac{-\cos x}{1 - \sin x}$

$\frac{d}{dx} \log (1 + \sin x) = \frac{1}{1 + \sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x}{1 - \sin x} - \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x (1 + \sin x) - \cos x (1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos x - \cos x \sin x - \cos x + \cos x \sin x}{1 - \sin^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2 \cos x}{\cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{\cos x}$

$\frac{dy}{dx} = -2 \sec x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -2 \sec x$