変数変換を用いて、重積分 $\iint_{D} \frac{x^2 + y^2}{(x+y)^3} dxdy$ を求めます。ただし、$D = \{(x, y); 1 \le x+y \le 3, x \ge 0, y \ge 0\}$ です。

1. 問題の内容

変数変換を用いて、重積分

$\iint_{D} \frac{x^2 + y^2}{(x+y)^3} dxdy$

を求めます。ただし、$D = \{(x, y); 1 \le x+y \le 3, x \ge 0, y \ge 0\}$ です。

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。$u = x+y$ および $v = x$ とおきます。

このとき、$x = v$ および $y = u - v$ となります。

次に、ヤコビアンを計算します。

$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (0)(-1) - (1)(1) = -1$

したがって、$|J| = 1$ です。

次に、積分領域を変換します。

$1 \le x+y \le 3$ より、$1 \le u \le 3$。

$x \ge 0$ より、$v \ge 0$。

$y \ge 0$ より、$u - v \ge 0$、つまり、$v \le u$。

したがって、積分領域は $1 \le u \le 3$ および $0 \le v \le u$ となります。

被積分関数を変換します。

$\frac{x^2 + y^2}{(x+y)^3} = \frac{v^2 + (u-v)^2}{u^3} = \frac{v^2 + u^2 - 2uv + v^2}{u^3} = \frac{2v^2 - 2uv + u^2}{u^3} = \frac{2v^2}{u^3} - \frac{2v}{u^2} + \frac{1}{u}$

したがって、重積分は

$\iint_{D} \frac{x^2 + y^2}{(x+y)^3} dxdy = \int_{1}^{3} \int_{0}^{u} (\frac{2v^2}{u^3} - \frac{2v}{u^2} + \frac{1}{u}) |J| dvdu$

$= \int_{1}^{3} \int_{0}^{u} (\frac{2v^2}{u^3} - \frac{2v}{u^2} + \frac{1}{u}) dvdu$

$= \int_{1}^{3} [\frac{2v^3}{3u^3} - \frac{v^2}{u^2} + \frac{v}{u}]_{0}^{u} du$

$= \int_{1}^{3} (\frac{2u^3}{3u^3} - \frac{u^2}{u^2} + \frac{u}{u}) du$

$= \int_{1}^{3} (\frac{2}{3} - 1 + 1) du$

$= \int_{1}^{3} \frac{2}{3} du$

$= [\frac{2}{3} u]_{1}^{3}$

$= \frac{2}{3}(3 - 1)$

$= \frac{2}{3}(2)$

$= \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$