関数 $f(x) = x^2$ と $g(x) = x^3$ について、区間 $I = (-2, 1]$ における連続性、単調増加性、最大値、最小値の有無を答える問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$ と $g(x) = x^3$ について、区間 $I = (-2, 1]$ における連続性、単調増加性、最大値、最小値の有無を答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2$ は多項式関数なので、すべての実数で連続です。したがって、区間 $I = (-2, 1]$ においても連続です。

(2) $g(x) = x^3$ の導関数は $g'(x) = 3x^2$ です。$g'(x) \geq 0$ なので、$g(x)$ は単調増加関数です。したがって、区間 $I = (-2, 1]$ においても単調増加です。

(3) $f(x) = x^2$ について、$I = (-2, 1]$ での最大値を考えます。$x$ が $-2$ に近づくほど $f(x)$ は $4$ に近づきますが、$x = -2$ は開区間なので $4$ になることはありません。$x=1$ のとき $f(1)=1$ です。したがって$f(x)$は最大値をもちません。また、$g(x) = x^3$ について、$I = (-2, 1]$ での最大値を考えます。$x = 1$ のとき $g(1) = 1$ なので、$g(x)$ は最大値 $1$ をもちます。

(4) $f(x) = x^2$ について、$I = (-2, 1]$ での最小値を考えます。$x = 0$ のとき $f(0) = 0$ なので、$f(x)$ は最小値 $0$ をもちます。また、$g(x) = x^3$ について、$I = (-2, 1]$ での最小値を考えます。$x$ が $-2$ に近づくほど $g(x)$ は $-8$ に近づきますが、$x = -2$ は開区間なので$-8$になることはありません。したがって、$g(x)$ は最小値をもちません。

3. 最終的な答え

(1) ある (①)

(2) ある (①)

(3) もたない (④)、もつ (③)

(4) もつ (③)、もたない (④)