関数 $y = \frac{2x+1}{x^2 - x + 1}$ を微分せよ。解析学微分関数の微分商の微分法2025/7/271. 問題の内容関数 y=2x+1x2−x+1y = \frac{2x+1}{x^2 - x + 1}y=x2−x+12x+1 を微分せよ。2. 解き方の手順この関数は、商の微分法を用いて微分できます。商の微分法は、関数 y=u(x)v(x)y = \frac{u(x)}{v(x)}y=v(x)u(x) に対して、dydx=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}dxdy=v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x)となります。この問題では、u(x)=2x+1u(x) = 2x + 1u(x)=2x+1、 v(x)=x2−x+1v(x) = x^2 - x + 1v(x)=x2−x+1 とおきます。まず、u(x)u(x)u(x) と v(x)v(x)v(x) の導関数を求めます。u′(x)=ddx(2x+1)=2u'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2u′(x)=dxd(2x+1)=2v′(x)=ddx(x2−x+1)=2x−1v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 1) = 2x - 1v′(x)=dxd(x2−x+1)=2x−1これらの導関数を商の微分法の公式に代入します。dydx=2(x2−x+1)−(2x+1)(2x−1)(x2−x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 - x + 1) - (2x + 1)(2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}dxdy=(x2−x+1)22(x2−x+1)−(2x+1)(2x−1)分子を展開して整理します。dydx=2x2−2x+2−(4x2−2x+2x−1)(x2−x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 2x + 2 - (4x^2 - 2x + 2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}dxdy=(x2−x+1)22x2−2x+2−(4x2−2x+2x−1)dydx=2x2−2x+2−4x2+1(x2−x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 2x + 2 - 4x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)^2}dxdy=(x2−x+1)22x2−2x+2−4x2+1dydx=−2x2−2x+3(x2−x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2 - x + 1)^2}dxdy=(x2−x+1)2−2x2−2x+33. 最終的な答えdydx=−2x2−2x+3(x2−x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2 - x + 1)^2}dxdy=(x2−x+1)2−2x2−2x+3