関数 $y = \frac{2x+1}{x^2 - x + 1}$ を微分せよ。

解析学微分関数の微分商の微分法
2025/7/27

1. 問題の内容

関数 y=2x+1x2x+1y = \frac{2x+1}{x^2 - x + 1} を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は、商の微分法を用いて微分できます。商の微分法は、関数 y=u(x)v(x)y = \frac{u(x)}{v(x)} に対して、
dydx=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}
となります。
この問題では、u(x)=2x+1u(x) = 2x + 1v(x)=x2x+1v(x) = x^2 - x + 1 とおきます。
まず、u(x)u(x)v(x)v(x) の導関数を求めます。
u(x)=ddx(2x+1)=2u'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2
v(x)=ddx(x2x+1)=2x1v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 1) = 2x - 1
これらの導関数を商の微分法の公式に代入します。
dydx=2(x2x+1)(2x+1)(2x1)(x2x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 - x + 1) - (2x + 1)(2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}
分子を展開して整理します。
dydx=2x22x+2(4x22x+2x1)(x2x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 2x + 2 - (4x^2 - 2x + 2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}
dydx=2x22x+24x2+1(x2x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 2x + 2 - 4x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)^2}
dydx=2x22x+3(x2x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2 - x + 1)^2}

3. 最終的な答え

dydx=2x22x+3(x2x+1)2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 2x + 3}{(x^2 - x + 1)^2}

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