関数 $y = (x^3 - x)(x^2 + 1)(3x^4 + x^2)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 - x)(x^2 + 1)(3x^4 + x^2)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法を用いる。3つの関数 $u(x)$, $v(x)$, $w(x)$ の積の微分は、

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

で与えられる。

ここで、

$u(x) = x^3 - x$

$v(x) = x^2 + 1$

$w(x) = 3x^4 + x^2$

とおくと、

$u'(x) = 3x^2 - 1$

$v'(x) = 2x$

$w'(x) = 12x^3 + 2x$

となる。したがって、

$y' = (3x^2 - 1)(x^2 + 1)(3x^4 + x^2) + (x^3 - x)(2x)(3x^4 + x^2) + (x^3 - x)(x^2 + 1)(12x^3 + 2x)$

$= (3x^4 + 2x^2 - 1)(3x^4 + x^2) + (x^3 - x)(6x^5 + 2x^3) + (x^5 + x^3 - x^3 - x)(12x^3 + 2x)$

$= (9x^8 + 3x^6 + 6x^6 + 2x^4 - 3x^4 - x^2) + (6x^8 + 2x^6 - 6x^6 - 2x^4) + (x^5 - x)(12x^3 + 2x)$

$= (9x^8 + 9x^6 - x^4 - x^2) + (6x^8 - 4x^6 - 2x^4) + (12x^8 + 2x^6 - 12x^4 - 2x^2)$

$= 9x^8 + 9x^6 - x^4 - x^2 + 6x^8 - 4x^6 - 2x^4 + 12x^8 + 2x^6 - 12x^4 - 2x^2$

$= (9 + 6 + 12)x^8 + (9 - 4 + 2)x^6 + (-1 - 2 - 12)x^4 + (-1 - 2)x^2$

$= 27x^8 + 7x^6 - 15x^4 - 3x^2$

3. 最終的な答え

$y' = 27x^8 + 7x^6 - 15x^4 - 3x^2$