与えられた関数 $y = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)$ を $x$ で微分し、$dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)$ を $x$ で微分し、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使う。積の微分公式とは、$y = u(x)v(x)$ のとき、$dy/dx = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ である。

ここで、$u(x) = (x - 2)$、$v(x) = (x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5)$ とおく。

まず、$u(x)$ を微分する。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x - 2) = 1$

次に、$v(x)$ を微分する。

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) = 4x^3 + 6x^2 + 6x + 4$

したがって、積の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$= 1(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) + (x - 2)(4x^3 + 6x^2 + 6x + 4)$

$= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5 + (4x^4 + 6x^3 + 6x^2 + 4x - 8x^3 - 12x^2 - 12x - 8)$

$= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5 + 4x^4 - 2x^3 - 6x^2 - 8x - 8$

$= 5x^4 + 0x^3 - 3x^2 - 4x - 3$

$= 5x^4 - 3x^2 - 4x - 3$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 5x^4 - 3x^2 - 4x - 3$