$y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、$y = (x^4 + 5)^{-1}$ と書き換えることができます。

この関数を微分するために、合成関数の微分（チェーンルール）を使用します。

チェーンルールとは、$y = f(g(x))$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ というものです。

この問題では、$f(u) = u^{-1}$、 $u = g(x) = x^4 + 5$ とします。

まず、$f(u) = u^{-1}$ を $u$ で微分します。

$\frac{df}{du} = -1 \cdot u^{-2} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

次に、$g(x) = x^4 + 5$ を $x$ で微分します。

$\frac{dg}{dx} = 4x^3$

したがって、チェーンルールを用いて、$y$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{dg}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 4x^3 = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$