$a_n = \int_0^1 x^n e^x dx$ (nは自然数)と定義されるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a_1$を求め、$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表します。 (2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$を示します。 (3) 無限級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

$a_n = \int_0^1 x^n e^x dx$ (nは自然数)と定義されるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a_1$を求め、$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表します。

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$を示します。

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$を求めるには、$n=1$を代入して積分を計算します。

$a_1 = \int_0^1 x e^x dx$

部分積分を用いて計算します。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$となるので、

$a_1 = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すには、$a_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^x dx$を部分積分します。

$u = x^{n+1}$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = (n+1)x^n dx$, $v = e^x$となるので、

$a_{n+1} = [x^{n+1}e^x]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n e^x dx = e - (n+1) \int_0^1 x^n e^x dx = e - (n+1)a_n$

(2) $0 \le x \le 1$において、$0 \le x^n \le 1$ かつ $1 \le e^x \le e$なので、

$0 \le x^n e^x \le e$

したがって、

$0 \le a_n = \int_0^1 x^n e^x dx \le \int_0^1 e dx = e \int_0^1 x^n dx = e \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{e}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0$であるから、挟み撃ちの原理より、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

(3) $e^x$ のマクローリン展開は、

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

よって、$e^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}$

したがって、$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1} - 1 = \frac{1}{e} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = e - (n+1)a_n$

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ (証明は上記参照)

(3) $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{e} - 1$