与えられた関数に対して、3次導関数 $y^{(3)}$ を求める問題です。関数は以下の5つです。 (1) $y = xe^x$ (2) $y = x\cos x$ (3) $y = x(e^x - 1)$ (4) $y = x\log(1+x)$ (5) $y = \tan x$

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、3次導関数 $y^{(3)}$ を求める問題です。関数は以下の5つです。

(1) $y = xe^x$

(2) $y = x\cos x$

(3) $y = x(e^x - 1)$

(4) $y = x\log(1+x)$

(5) $y = \tan x$

2. 解き方の手順

各関数について、3回微分を繰り返して3次導関数を求めます。積の微分公式などを適切に用います。

(1) $y = xe^x$

1次導関数: $y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

2次導関数: $y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

3次導関数: $y^{(3)} = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x$

(2) $y = x\cos x$

1次導関数: $y' = \cos x - x\sin x$

2次導関数: $y'' = -\sin x - \sin x - x\cos x = -2\sin x - x\cos x$

3次導関数: $y^{(3)} = -2\cos x - \cos x + x\sin x = -3\cos x + x\sin x$

(3) $y = x(e^x - 1) = xe^x - x$

1次導関数: $y' = e^x + xe^x - 1 = (x+1)e^x - 1$

2次導関数: $y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

3次導関数: $y^{(3)} = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x$

(4) $y = x\log(1+x)$

1次導関数: $y' = \log(1+x) + \frac{x}{1+x}$

2次導関数: $y'' = \frac{1}{1+x} + \frac{(1+x) - x}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1+x+1}{(1+x)^2} = \frac{x+2}{(1+x)^2}$

3次導関数: $y^{(3)} = \frac{(1+x)^2 - (x+2)2(1+x)}{(1+x)^4} = \frac{(1+x) - 2(x+2)}{(1+x)^3} = \frac{1+x - 2x - 4}{(1+x)^3} = \frac{-x-3}{(1+x)^3} = -\frac{x+3}{(1+x)^3}$

(5) $y = \tan x$

1次導関数: $y' = \sec^2 x$

2次導関数: $y'' = 2\sec x (\sec x \tan x) = 2\sec^2 x \tan x$

3次導関数: $y^{(3)} = 4\sec x (\sec x \tan x) \tan x + 2\sec^2 x (\sec^2 x) = 4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x = 4\sec^2 x (\sec^2 x - 1) + 2\sec^4 x = 4\sec^4 x - 4\sec^2 x + 2\sec^4 x = 6\sec^4 x - 4\sec^2 x$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(3)} = (x+3)e^x$

(2) $y^{(3)} = -3\cos x + x\sin x$

(3) $y^{(3)} = (x+3)e^x$

(4) $y^{(3)} = -\frac{x+3}{(1+x)^3}$

(5) $y^{(3)} = 6\sec^4 x - 4\sec^2 x$