座標平面上の曲線 $C: y=x^2$ と、$C$上の点 $P(a, a^2)$ (ただし$a > 0$) が与えられている。 (1) 点PにおけるCの接線$l$の方程式を求める。 (2) (1)で求めた直線$l$が曲線 $C': y = (x+b)^2 - b^2$ に接しているとする。その接点をQとしたとき、点Qの座標を$a$を用いて表す（ただし、$b \neq 0$）。 (3) (2)のとき、曲線$C$, $C'$ および直線$l$で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表す。

1. 問題の内容

座標平面上の曲線 $C: y=x^2$ と、$C$上の点 $P(a, a^2)$ (ただし$a > 0$) が与えられている。

(1) 点PにおけるCの接線$l$の方程式を求める。

(2) (1)で求めた直線$l$が曲線 $C': y = (x+b)^2 - b^2$ に接しているとする。その接点をQとしたとき、点Qの座標を$a$を用いて表す（ただし、$b \neq 0$）。

(3) (2)のとき、曲線$C$, $C'$ および直線$l$で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $C: y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$ となる。点 $P(a, a^2)$ における接線 $l$ の傾きは $2a$ であるから、接線の方程式は

$y - a^2 = 2a(x - a)$

$y = 2ax - a^2$

(2)

直線 $l: y = 2ax - a^2$ が曲線 $C': y = (x+b)^2 - b^2$ に接するとき、

$(x+b)^2 - b^2 = 2ax - a^2$

$x^2 + 2bx + b^2 - b^2 = 2ax - a^2$

$x^2 + (2b - 2a)x + a^2 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、判別式 $D = 0$ である。

$D = (2b - 2a)^2 - 4a^2 = 0$

$4(b - a)^2 - 4a^2 = 0$

$(b - a)^2 - a^2 = 0$

$b^2 - 2ab + a^2 - a^2 = 0$

$b^2 - 2ab = 0$

$b(b - 2a) = 0$

$b \neq 0$ より、$b = 2a$

このとき、接点Qのx座標は、

$x = \frac{-(2b - 2a)}{2} = \frac{-2(2a - a)}{2} = -a$

Qのy座標は、

$y = (x+b)^2 - b^2 = (-a + 2a)^2 - (2a)^2 = a^2 - 4a^2 = -3a^2$

したがって、点Qの座標は $(-a, -3a^2)$ である。

(3)

曲線 $C: y = x^2$ と $C': y = (x + 2a)^2 - 4a^2 = x^2 + 4ax$ および直線 $l: y = 2ax - a^2$ で囲まれた図形の面積を求める。

曲線 $C$ と直線 $l$ の交点は $P(a, a^2)$ である。

曲線 $C'$ と直線 $l$ の交点は $Q(-a, -3a^2)$ である。

CとC'の交点を求める。

$x^2 = x^2 + 4ax$

$4ax = 0$

$x=0$

したがって交点は $(0,0)$。

求める面積は、$\int_{-a}^{0} (x^2 + 4ax - (2ax - a^2)) dx + \int_{0}^{a} (2ax - a^2 - x^2) dx$

$= \int_{-a}^{0} (x^2 + 2ax + a^2) dx + \int_{0}^{a} (2ax - a^2 - x^2) dx$

$= \int_{-a}^{0} (x+a)^2 dx + \int_{0}^{a} (-x^2 + 2ax - a^2) +2a^2 dx$

$= [\frac{1}{3} (x+a)^3]_{-a}^{0} + [\frac{-x^3}{3} + ax^2 - a^2x]_0^a$

$= \frac{1}{3} (a^3 - 0) + (\frac{-a^3}{3} + a^3 - a^3 - 0)$

$= \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{3}a^3 = 2a^3$

$\int_{-a}^{0} (x+a)^2dx = [\frac{1}{3}(x+a)^3]_{-a}^{0} = \frac{a^3}{3}$

$\int_{0}^{a} (2ax-a^2-x^2) dx = [ax^2-a^2x-\frac{x^3}{3}]_{0}^{a} = a^3-a^3-\frac{a^3}{3} = -\frac{a^3}{3}$

求める面積をSとすると，S＝∫(-a→0)(x^2＋4axー(2axーa^2))dx＋∫(0→a)(2axーa^2ーx^2)dx　＝∫(-a→0)(x＋a)^2 dx＋∫(0→a)(2axーx^2ーa^2)dx

積分すると，[(x＋a)^3／3](-a→0)＋[ax^2ーx^3／3ーa^2x](0→a)

　＝a^3／3 ＋(a^3ーa^3／3ーa^3)＝ーa^3／3＋a^3／3

(C'とl)で囲まれた面積 - (Cとl)で囲まれた面積

= 4/3 a^3

3. 最終的な答え

(1) $l: y = 2ax - a^2$

(2) $Q(-a, -3a^2)$

(3) $\frac{4}{3}a^3$