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$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角不等式を解きます。 (1) $2\cos\theta \leq -\sqrt{2}$ (2) $-\sqrt{2}\sin\theta + 1 \geq 0$ (3) $\sqrt{3}\tan\theta - 1 < 0$

解析学三角関数三角不等式不等式三角比
2025/7/27

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi の範囲で、以下の三角不等式を解きます。
(1) 2cos⁡θ≤−22\cos\theta \leq -\sqrt{2}
(2) −2sin⁡θ+1≥0-\sqrt{2}\sin\theta + 1 \geq 0
(3) 3tan⁡θ−1<0\sqrt{3}\tan\theta - 1 < 0

2. 解き方の手順

(1) 2cos⁡θ≤−22\cos\theta \leq -\sqrt{2}
まず、cos⁡θ≤−22\cos\theta \leq -\frac{\sqrt{2}}{2} と変形します。
cos⁡θ=−22\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} となるのは、θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} と θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} のときです。
cos⁡θ\cos\theta は 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi の範囲で θ\theta が増加するにつれて、θ=0\theta = 0 から θ=π\theta = \pi までは減少し、θ=π\theta = \pi から θ=2π\theta = 2\pi までは増加します。
したがって、cos⁡θ≤−22\cos\theta \leq -\frac{\sqrt{2}}{2} となるのは、3π4≤θ≤5π4\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4} のときです。
(2) −2sin⁡θ+1≥0-\sqrt{2}\sin\theta + 1 \geq 0
まず、2sin⁡θ≤1\sqrt{2}\sin\theta \leq 1 と変形します。
次に、sin⁡θ≤12=22\sin\theta \leq \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} と変形します。
sin⁡θ=22\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} となるのは、θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} と θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} のときです。
sin⁡θ\sin\theta は 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi の範囲で θ\theta が増加するにつれて、θ=0\theta = 0 から θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} までは増加し、θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} から θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} までは減少し、θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} から θ=2π\theta = 2\pi までは増加します。
したがって、sin⁡θ≤22\sin\theta \leq \frac{\sqrt{2}}{2} となるのは、0≤θ≤π40 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} または 3π4≤θ<2π\frac{3\pi}{4} \leq \theta < 2\pi のときです。
(3) 3tan⁡θ−1<0\sqrt{3}\tan\theta - 1 < 0
まず、3tan⁡θ<1\sqrt{3}\tan\theta < 1 と変形します。
次に、tan⁡θ<13\tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}} と変形します。
tan⁡θ=13\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となるのは、θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} のときです。
tan⁡θ\tan\theta の周期は π\pi です。
したがって、tan⁡θ=13\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となるのは、θ=π6+nπ\theta = \frac{\pi}{6} + n\pi (nn は整数) のときです。
tan⁡θ\tan\theta は θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} と θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} で定義されません。
tan⁡θ<13\tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}} となるのは、0≤θ<π20 \leq \theta < \frac{\pi}{2} において 0≤θ<π60 \leq \theta < \frac{\pi}{6}、π2<θ<3π2\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2} において π2<θ<7π6\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{6}、3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi において 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi のときです。
したがって、0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi において、tan⁡θ<13\tan\theta < \frac{1}{\sqrt{3}} となるのは、0≤θ<π60 \leq \theta < \frac{\pi}{6} または π2<θ<7π6\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{6} または 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi のときです。

3. 最終的な答え

(1) 3π4≤θ≤5π4\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}
(2) 0≤θ≤π40 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} または 3π4≤θ<2π\frac{3\pi}{4} \leq \theta < 2\pi
(3) 0≤θ<π60 \leq \theta < \frac{\pi}{6} または π2<θ<7π6\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{6} または 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi

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