関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求める問題です。

解析学微分導関数指数関数合成関数の微分積の微分
2025/7/27

1. 問題の内容

関数 y=(x2+1)5x3y = (x^2 + 1)5^{x^3} の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv' を利用します。
ここで、u=x2+1u = x^2 + 1v=5x3v = 5^{x^3} とおきます。
まず、uu の導関数を求めます。
u=ddx(x2+1)=2xu' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
次に、vv の導関数を求めます。
v=5x3v = 5^{x^3} を微分するために、合成関数の微分法を使います。
v=5x3v = 5^{x^3} の両辺の自然対数を取ると、
lnv=ln(5x3)=x3ln5\ln v = \ln(5^{x^3}) = x^3 \ln 5
両辺を xx で微分すると、
1vdvdx=3x2ln5\frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = 3x^2 \ln 5
dvdx=v(3x2ln5)=5x3(3x2ln5)\frac{dv}{dx} = v(3x^2 \ln 5) = 5^{x^3} (3x^2 \ln 5)
よって、v=3x2ln55x3v' = 3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}
積の微分公式に当てはめると、
y=uv+uv=(2x)(5x3)+(x2+1)(3x2ln55x3)y' = u'v + uv' = (2x)(5^{x^3}) + (x^2 + 1)(3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3})
=2x5x3+3x2(x2+1)ln55x3= 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2(x^2 + 1)\ln 5 \cdot 5^{x^3}
=5x3[2x+3x2(x2+1)ln5]= 5^{x^3}[2x + 3x^2(x^2 + 1)\ln 5]
=5x3[2x+(3x4+3x2)ln5]= 5^{x^3}[2x + (3x^4 + 3x^2)\ln 5]
=x5x3[2+(3x3+3x)ln5]= x5^{x^3}[2 + (3x^3 + 3x)\ln 5]

3. 最終的な答え

y=x5x3[2+(3x3+3x)ln5]y' = x5^{x^3}[2 + (3x^3 + 3x)\ln 5]
または、
y=5x3(2x+3x2(x2+1)ln5)y' = 5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2+1)\ln5)

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