関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求める問題です。解析学微分導関数指数関数合成関数の微分積の微分2025/7/271. 問題の内容関数 y=(x2+1)5x3y = (x^2 + 1)5^{x^3}y=(x2+1)5x3 の導関数を求める問題です。2. 解き方の手順積の微分公式 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'(uv)′=u′v+uv′ を利用します。ここで、u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1、v=5x3v = 5^{x^3}v=5x3 とおきます。まず、uuu の導関数を求めます。u′=ddx(x2+1)=2xu' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2xu′=dxd(x2+1)=2x次に、vvv の導関数を求めます。v=5x3v = 5^{x^3}v=5x3 を微分するために、合成関数の微分法を使います。v=5x3v = 5^{x^3}v=5x3 の両辺の自然対数を取ると、lnv=ln(5x3)=x3ln5\ln v = \ln(5^{x^3}) = x^3 \ln 5lnv=ln(5x3)=x3ln5両辺を xxx で微分すると、1vdvdx=3x2ln5\frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = 3x^2 \ln 5v1dxdv=3x2ln5dvdx=v(3x2ln5)=5x3(3x2ln5)\frac{dv}{dx} = v(3x^2 \ln 5) = 5^{x^3} (3x^2 \ln 5)dxdv=v(3x2ln5)=5x3(3x2ln5)よって、v′=3x2ln5⋅5x3v' = 3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3}v′=3x2ln5⋅5x3積の微分公式に当てはめると、y′=u′v+uv′=(2x)(5x3)+(x2+1)(3x2ln5⋅5x3)y' = u'v + uv' = (2x)(5^{x^3}) + (x^2 + 1)(3x^2 \ln 5 \cdot 5^{x^3})y′=u′v+uv′=(2x)(5x3)+(x2+1)(3x2ln5⋅5x3)=2x⋅5x3+3x2(x2+1)ln5⋅5x3= 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2(x^2 + 1)\ln 5 \cdot 5^{x^3}=2x⋅5x3+3x2(x2+1)ln5⋅5x3=5x3[2x+3x2(x2+1)ln5]= 5^{x^3}[2x + 3x^2(x^2 + 1)\ln 5]=5x3[2x+3x2(x2+1)ln5]=5x3[2x+(3x4+3x2)ln5]= 5^{x^3}[2x + (3x^4 + 3x^2)\ln 5]=5x3[2x+(3x4+3x2)ln5]=x5x3[2+(3x3+3x)ln5]= x5^{x^3}[2 + (3x^3 + 3x)\ln 5]=x5x3[2+(3x3+3x)ln5]3. 最終的な答えy′=x5x3[2+(3x3+3x)ln5]y' = x5^{x^3}[2 + (3x^3 + 3x)\ln 5]y′=x5x3[2+(3x3+3x)ln5]または、y′=5x3(2x+3x2(x2+1)ln5)y' = 5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2+1)\ln5)y′=5x3(2x+3x2(x2+1)ln5)